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COMBINAISION LINEAIRE OPTIMALE
D'ESTIMATEURS NON BIAISES INDEPENDANTS
Notations :
* Q la quantité à estimer,
* Q1 un estimateur
sans biais de Q, de variance connue 
1².
* Q*1 une réalisation de Q1.
* Q2 un second
estimateur sans biais de Q, de variance connue 2².
* Q*2 une réalisation de Q2.
Q1 et Q2
sont supposé indépendants (ou plus précisément non corrélés).
Nous cherchons les valeurs de 
1
et 2
telles que :
Qc = 1.Q1
+ 2.Q2
* soit sans biais,
* et de variance minimale.
1) Qc doit être sans biais
Nous voulons que Qc soit sans biais, et donc que son espérance soit égale à Q, la valeur (commune) de l'espérance de Q1 et de Q2. En notant E l'espérance, on doit donc avoir :
E(1.Q1
+ 2.Q2)
= Q
Mais :
E(1.Q1
+ 2.Q2)
= 1.E(Q1) + 2.E(Q2
) = 1.Q + 2.Q
= ( 1 + 2).Q
On obtient donc la condition :
( 1 + 2).Q
= Q ou 1 + 2
= 1
Par la suite nous noterons 1
= et
2 = (1
- ).
2) Qc doit être de variance minimale
La variance Qc est :
var(Qc) = var[.Q1
+ (1 -).Q2]
Q1 et Q2 étant non corrélés, on a :
var[.Q1
+ (1 -).Q2] =
var(.Q1) + var((1
-).Q2)
et donc :
var(Qc) = ² =
².var(Q1) + (1
-)².var(Q2) =
².1² + (1
-)².2²
Nous cherchons la condition pour que ² soit
minimale, et nous prenons donc la dérivée de la quantité précédente par rapport
à ,
et imposons qu'elle soit égale à 0 :
d²
/ d
= 2.(.1²
- (1 -).2²)
= 0
D'où les valeurs des deux coefficients :
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La dérivée seconde de ²
est :
d²²/d²
= 2.(1²
+ 2²) > 0
et l'extremum de 2²
est donc bien un minimum.
La valeur minimale de ²
est :
²
= 1².1² +
2².
2² =
24
.1²/ (1²
+ 2²)²
+ 2²
.14 /(1²
+ 2²)²
ou :
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Cette valeur minimale est inférieure à 1²
et 2².
Par exemple, comparons ² et
1²
:
²
/ 1² =
2²
/ (1²
+ 2²)
< 1
__________________________________
Supposons que la quantité
à estimer Q soit la moyenne d'une distribution, par exemple la position vraie
d'une étoile sur la sphère céleste. Supposons que Q*1 et Q*2 soient
obtenues avec un même télescope dont l'incertitude de mesure peut être
caractérisée par une variance unique i².
* Q*1 est la moyenne empirique de n1 mesures,
* alors que Q*2 est la moyenne empirique de n2 mesures faites la nuit suivante.
La variance de Q1 est
1²
= i²
/ n1, alors que celle de Q2 est
2²
= i²
/ n2. La variance minimale de Qc est
:
²
= (i²
/ n1).(i²
/ n2) / (i²
/ n1 + i²
/ n2)
soit
²
= i²
/( n1 + n2)
Imaginons maintenant que les deux ensembles de mesures soient réunis dans un échantillon unique comportant donc n = (n1 + n2) observations. Il est connu que la moyenne empirique est le meilleur estimateur possible de la moyenne vraie (ç. à. d., aucun autre estimateur sans biais de la moyenne n'a une variance plus faible que celle de la moyenne empirique). La variance de la moyenne empirique de l'échantillon global est :
i²
/( n1 + n2)
qui est justement la valeur minimale de la variance de Qc. Donc, au moins dans ce cas, Qcest non seulement la meilleure combinaison linéaire possible, mais le meilleur estimateur possible de Q.
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