ANIMATION INTERACTIVE: DISTRIBUTION BINOMIALE

L'animation suivante illustre la Distribution Binomiale.

1) Dans le cadre supérieur, faites glisser la frontière entre zone blanche (à gauche) et zone grise (à droite) avec votre souris. Vous réglez ainsi la valeur de la probabilité p.

    *Observez les variations de la forme de la distribution binomiale, matérialisée pour chaque valeur de k par un rectangle rose dont la hauteur est proportionnelle à P{X = k} .

    * La moyenne de la distribution est matérialisée par un trait vertical bleu. Bien que X ne puisse prendre que des valeurs entières, sa moyenne peut prendre une valeur quelconque.

    * L'écart-type de la distribution est matérialisé par les deux traits bleus épais et courts.

    * La distribution est symétrique par rapport à la moyenne pour p = 0,5. Elle est de plus en plus asymétrique au fur et à mesure que p s'approche de ses valeurs extrêmes 0 et 1. Observez que la moyenne est toujours du côté de l'aile la plus longue de la distribution.

    * L'écart-type atteint un maximum pour p = 0,5 , et tend vers 0 aux valeurs extrêmes (démontrez le !).

2) Faites varier la valeur de n (contrôle "Nb. of Points").

    * La distribution est unimodale (un seul maximum) pour n pair, et a deux maxima adjacents pour n impair.

    * Gardez la valeur de p proche de 0,5 (pour des raisons d'affichage seulement) et augmentez la valeur de n : la distribution (discontinue) commence à ressembler à une distribution normale (continue). Pouvez-vous justifier cela en termes très généraux (pensez au Théorème Central Limite)?

    * La valeur maximale que peut prendre la probabilité P{X = k} (mode) est indiquée par une ligne noire horizontale. Observez que cette valeur décroit quand n augmente (à p donné). Autrement dit, quand n augmente, la valeur de k la plus probable voit sa probabilité diminuer : en termes vagues (et incorrects), les probabilités sont alors réparties sur un plus grand nombre de valeurs de k, en raison de l'augmentation de l'écart-type avec n.

L'échelle verticale dépend de la valeur de n. La hauteur de la ligne matérialisant la plus forte valeur de P{X = k} n'est donc pas siginificative, et cette valeur doit être lue sur l'affichage à gauche de la ligne.

3) Lancez l'animation en cliquant sur "Go".

La série de n parties est simulée par une suite de n tirages aléatoires à partir d'une distribution uniforme. Les points tombent dans la zone blanche ("Pile") avec la probabilité p et sont rouges. Les points tombent dans la zone grise ("Face") avec la probabilité 1 - p, et sont gris.

Observez la construction de l'histogramme de B(n, p) (rectangles verts), qui converge vers l'histogramme théorique (rectangles roses).

La somme des hauteurs des rectangles verts est normalement égale à celle des rectangles roses. Néanmoins, dans certaine configurations extrêmes, le rectangle vert le plus haut peut sembler "verrouillé". Ceci est afin d'éviter que sa hauteur dépasse celle du cadre. L'histogramme vert n'est alors plus normalisé correctement, et ne peut plus être validement comparé à l'histogramme rose. Un voyant rouge s'allume alors dans le coin supérieur droit du cadre.