ANIMATION INTERACTIVE: DISTRIBUTION GEOMETRIQUE

Cette animation illustre la Distribution Géométrique.

La probabilité p

    Faites glisser avec votre souris la limite entre les zones blanche et grise du rectangle supérieur. Vous ajustez ainsi la valeur de la probabilité p, qui est égale au rapport de la longueur de la zone blanche à la longueur totale du rectangle.

Cadre inférieur

    Le cadre inférieur montre la Distribution Géométrique pour la valeur de p choisie. Cette distribution change quand vous faites varier p : elle s'étale vers la droite et s'applatit pour les petites valeurs de p, mais conserve toujours son caractère "exponentiel décroissant", illustré par une courbe exponentielle de constante q. Pour de grandes valeurs de p, la probabilité d'avoir à attendre plus de quelques lancers avant de voir apparaître "Pile" devient négligeable.

Il est parfois considéré comme surprenant que "Pile" apparaisse plus fréquemment en première position qu'en n'importe quelle autre position, et ce quelle que soit la valeur de p. Ainsi, pour de très petites valeurs de p, ne devrait-on pas s'attendre à ce qu'il soit extrêmement improbable de tirer "Pile" dès le premier lancer ? Ne devrait-on pas plutôt s'attendre à ce qu'il faille, le plus souvent, lancer la pièce un grand nombre de fois avant d'obtenir "Pile" pour la première fois, et donc d'observer un maximum de fréquence pour une valeur de k plus grande que 1 ?

Cette remarque illustre la différence entre "mode" (valeur pour laquelle la probabilité est maximale) et "moyenne". Il est vrai que la valeur moyenne du nombre de lancers nécessaires pour obtenir une première fois "Pile" augmente quand la probabilité p diminue. Par contre, quelle que soit la valeur de p, "Pile" apparaît plus souvent en première position qu'en n'importe quelle autre position.

La ligne bleue verticale matérialise la moyenne de la distribution.

Observez que lorsque p parcourt l'étendue disponible, la hauteur de chaque case rose passe par un maximum. Pour une case donnée k, il apparaît visuellement que ce maximum se produit lorsque la valeur de la moyenne de la distribution est justement égale à k. Ceci est vrai. Pouvez-vous le démontrer ?

Animation

    Cliquez sur "Go", et observez la construction de l'histogramme de la distribution géométrique.

    Cliquez sur "Pause", puis sur "Next". Un échantillon se construit pas à pas. La construction se poursuit tant que les points tirés tombent dans la zone grise (ce qui se produit, pour chaque nouveau point, avec la probabilité q = 1 - p), et se termine au premier point (rouge) qui tombe dans la zone blanche (avec la probabilité p). En cliquant à nouveau sur "Next", vous créez un nouvel échantillon etc...

Relancez l'animation en cliquant sut "Resume".