ANIMATION INTERACTIVE: INERTIE

Cette animation illustre les concept d'Inertie et d'Inertie Projetée Maximale.

L'animation a deux modes opératoires :

1. "Elementaire"  ("Basic"), et
2. "Inertie Projetée"  ("Projected Inertia").

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MODE "ELEMENTAIRE"

    Illustration de la définition et de la propriété fondamentale de l'inertie.
 

Cadre

Dans le cadre se trouvent :

    * Un "nuage" de cinq points rouges. Tous les points ont le même poids initial (arbitraire) de 5.

    * Le barycentre du nuage, marqué par un point bleu.

    * Un point de référence (croix noire) par rapport auquel est calculée l'inertie.

    * Des connexions vertes reliant le point de référence à chacun des points du nuage.

En bas et à droite de l'animation est affichée la valeur de l'Inertie totale du nuage, définie par :

Inertie = Σ_im_i.d²_i

où :

    * m_i est le poids du point i.

    * d²_i est le carré de la distance entre le point i et le point de référence (croix noire), c'est à dire, de la longueur de la connexion verte correspondante.

Aucun système d'axes de référence n'est montré de façon à mettre en évidence le fait que l'Inertie est définie par rapport à un point, pas par rapport à des axes.

Animation

    Glissers

• Faites glisser les points rouges avec votre souris, et observez les changements dans la valeur de l'inertie. En particulier, remarquez que si vous éloignez un point du point de référence, l'inertie augmente. Pour un jeu de poids donné, l'inertie est donc une mesure (assez primaire) de l'extension spatiale du nuage.
• Déplacez maintenant le point de référence (croix noire). Observez que l'inertie est bien minimale quand le point de référence coïncide avec le barycentre du nuage.
  Si tous les points ont le même poids w (comme c'est le cas à l'ouverture de l'animation), la définition de l'inertie est alors formellement identique à celle de n.w fois la variance d'un échantillon unidimensionnel. L'inertie peut alors être perçue comme une généralisation de la variance pour des échantillons multidimensionnels.

    Poids

        Double-cliquez sur un point rouge pour afficher son poids. Ce poids peut maintenant être modifié. Fermez l'affichage en cliquant dans une région vide de la scène. Pour une configuration donnée, l'inertie augmente avec le poids d'un point. 

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MODE "INERTIE PROJETEE"

    Illustre le concept de "Direction d'Inertie Projetée Maximale" (ou "Direction de Plus Grande Inertie Projetée").

Cliquez sur le bouton "Projected Inertia" pour activer ce mode.

Cadre

Si les poids ne sont pas tous égaux, deux droites s'affichent :

• Une droite bleue, qui est la direction d'Allongement Maximal du nuage.
• Une droite noire, qui est la direction d'Inertie Projetée Maximale (IPM) du nuage.

 

• Le droite bleue est telle que, en faisant abstraction des poids (ou bien si ceux-ci sont tous égaux), la projection du nuage sur cette droite a la plus grande variance possible. Le point bleu est le centre de gravité des positions des points. Pour plus de détails, voir Matrice de Covariance.
• Le nuage est projeté sur la droite noire. La projection d'un point est affectée du même poids que le point lui-même L'inertie de l'ensemble des points verts par rapport au barycentre est appelée l'Inertie Projetée du nuage sur la droite.
  La droite noire est la direction d'Inertie Projetée Maximale (IPM) du nuage. La projection du nuage sur toute autre droite conduirait à une valeur de l'Inertie Projetée plus faible.
  La valeur de l'IPM est affichée en bas et à droite de l'animation. Elle est bien sûr inférieure à la valeur de l'inertie totale.

Les droites bleue et noire sont représentées comme passant par les barycentres pour une simple raison de commodité. Leurs positions sont sans importance, seules leurs directions comptent.

Si tous les points ont approximativement le même poids, les droites bleue et noire ont approximativement la même direction.

 

 

Animation

• Les directions d'Allongement Maximal et d'Inertie Projetée Maximale peuvent cependant être très différentes :

            * Créez un nuage de 3 points formé d'un point lourd entre deux points légers assez rapprochés. Les directions bleue et noire sont presque identiques.

            * Faites maintenant glisser le point lourd le long de la médiatrice des deux points légers. Au début, les directions des deux lignes ne changent presque pas. Puis la ligne noire devient instable, et se positionne brutalement dans une direction perpendiculaire à celle de la droite bleue : les deux directions sont alors "aussi différentes que possible". Cette situation extrême est pathologique : les deux directions sont instables, et toutes les directions ont alors à peu près le même allongement, et la même inertie projetée.

            * Continuez à déplacer le point lourd dans la même direction. La ligne noire ne change plus, mais la ligne bleue la rejoint brutalement : les directions d'allongement maximal et d'inertie projetée maximale sont à nouveau confondues, mais orthogonales à leurs orientations initiales.

 

• Augmentez le poids d'un point : il "attire" la droite noire (la droite bleue restant évidemment inchangée). Dans le vocabulaire de l'Analyse en Composantes Principales et de l'Analyse des Correspondances, "Les points lourds ont une plus grande influence que les points légers sur la direction d'Inertie Projetée Maximale.".

Vous pouvez maintenant rendre l'animation plus lisible en cliquant sur le bouton radio "Mask Max. Spread".

• Déplacez un point (lourd de préférence) de façon à ce que sa projection sur la droite noire soit proche du barycentre (le point lui-même n'a pas besoin d'être proche du barycentre). Effectuez maintenant des mouvements de va-et-vient perpendiculairement à la droite noire : la direction de cette droite ne change pas (la droite se translate, mais rappelons que sa position est arbitraire).
  Déplacez maintenant le point de façon à ce que sa projection soit loin du barycentre, et effectuez à nouveau des mouvements de va-et-vient de la même amplitude que précedemment. La droite noire "suit" mainenant le point en pivotant autour du barycentre.
  Dans le vocabulaire de l'Analyse en Composantes Principales et de l'Analyse des Correspondances, "A poids égal, les points qui se projettent loin du barycentre ont plus d'influence sur la direction d'Inertie Projetée Maximale que les points qui se projettent près de ce barycentre.".

 

• Vous pouvez maintenant vérifier que la droite noire est bien la direction d'Inertie Projetée Maximale. Cliquez dans une région vide de la scène, et déplacez votre souris en maintenant le bouton de la souris abaissé. La droite noire devient violette et suit la souris en pivotant autour du barycentre. La droite n'est plus la directions d'IPM, mais simplement une droite de projection quelconque. La valeur de l'inertie projetée sur cette droite est affichée en bas et à droite de l'animation ("Projected Inertia").
  Déplacez les points et changez leurs poids de façon à ce qu'il soit difficile de deviner la directions d'IPM. Pendant ces modifications, la droite violette se déplacera de façon à toujours passer par le barycentre, mais restera parallèle à elle même.
  Faites maintenant tourner la droite violette jusqu'à obtenir la plus grande valeur possible de l'inertie projetée : vous avez identifié manuellement la direction d'IPM.
  Confirmez cette identification eu double-cliquant dans une région vide de la scène : la droite violette redevient noire, et bascule sur la vraie direction d'IPM.