ANIMATION INTERACTIVE: SIMULATION PAR METHODS DE MONTE-CARLO

Cette animation illustre le concept de Simulation par la Méthode de Monte-Carlo.

Animation par défaut

L'animation s'ouvre sur une scène (région jaune) contenant quatre disques noirs. Vous pouvez déplacer les disques avec votre souris.

La question est : "Quelle est l'aire de la région noire ?".

La fonction à ingtégrer est "1", et toute la difficulté du problème vient donc de la forme compliquée de la frontière de la région d'intégration (la région noire).

• Quand les disques ne se chevauchent pas, l'aire de la surface noire est égale à la moitié de l'aire de la scène.
• Quand les disques se chevauchent, le calcul de l'aire de la région noire est au mieux extrêmement difficile. Une simulation de Monte-Carlo est alors un moyen simple et efficace d'estimer la valeur de cette aire.

Cliquez sur "Go", et observez la construction progressive de la solution. Remarquez que la convergence est très lente : après 100.000 itérations, la troisième décimale est encore instable.

Nous gardons visibles les 30 derniers tirages de façon à donner une impression visuelle de la distribution uniforme bidimensionnelle d'où sont tirés les points. Mais la mise à jour de l'aire est effectuée après chaque nouveau tirage. Cliquez sur "Pause", puis sur "Next" pour voir la simulation point par point.

Calcul de π

Cliquez sur "Reset".

Nous présentons ensuite deux simulations de MC permettant d'estimer la valeur de π.

Disque

Cliquez sur "Disc". Un unique disque noir est inscrit dans la scène. Si l'on suppose que la scène un carré de côté "1", l'aire du disque est alors estimée par la proportion de points qui tomberont sur le disque. Ecrivez la formule qui donne la valeur de l'estimation de π en fonction de cette proportion.

Aiguille de Buffon

Une aiguille de longueur l est lâchée au hasard sur un parquet formé de lames d'égales largeurs d. Quelle est la probabilité pour que l'aiguille chevauche deux lames adjacentes ?

La réponse implique la constante π. De cette remarque, il est possible de déduire une méthode d'estimation de π par simulation de MC.

Dans cette animation :

• Une seule lame est représentée (rectangle vert). En effet, la réponse ne dépend pas de la lame sur laquelle se trouve le milieu de l'aiguille.
• L'abscisse de l'aiguille est constante. En effet, l'abscisse de l'aiguille n'intervient pas dans la réponse.
• La position verticale de l'aiguille est tirée d'une distribution uniforme recouvrant la largeur de la lame de parquet.
• L'orientation de l'aiguille est tirée d'une distribution uniforme sur [0, π].