DISTRIBUTION DE POISSON ET DISTRIBUTION BINOMIALE

L'animation suivante illustre la distribution de Distribution de Poisson, et de sa relation intime avec la Distribution Binomiale

A) Le cadre supérieur montre:

    * La distribution de¨Poisson pour la valeur de λ affichée (barres noires),

    * ainsi que la distribution binomiale B(n, p) (barres rouges) pour les valeurs de n et p affichées. Une barre rouge interrompue montre une valeur de P_Bin..{X = k} trop grande pour que sa représentation tienne dans le cadre.

Vérifiez que np =  λ. Cette relation est toujours respectée (tant qu'elle est possible) dans l’animation.

    1) Faites varier la valeur de n (à λ constant).  La probabilité p change de façon à respecter la relation np = λ.   

        * Augmentez n et observez que l’accord entre Distribution de Poisson et Distribution Binomiale devient meilleur pour de grandes valeurs de n (et donc de petites valeurs de p). La finalité de la Distribution de Poisson est en effet d’être une bonne approximation de B(n, p) pour n grand et p petit.

        * A contrario, l’écart entre Distribution de Poisson et Distribution Binomiale grandit quand n diminue.

    2) Faites varier la valeur de p. Au cours de cette variation, n est maintenu constant. Observez que l’accord entre Distribution de Poisson et Distribution Binomiale devient meilleur pour de faibles valeurs de p.

    3) Faites varier la valeur de λ.  Lors de ce changement, n est maintenu fixe, donc p est modifié de façon à maintenir valide la relation np = λ.

Si vous augmentez λ, la probabilité p augmente, mais ne peut logiquement pas dépasser la valeur 1. Donc au delà d’une certaine valeur de λ, le graphe de la distribution binomiale disparaît. Si vous continuez à faire croître λ, l’affichage de la Distribution de Poisson est maintenu, mais pas celui de la Distribution Binomiale.

Lorsque vous arrêtez de faire croître λ, un nouveau graphe binomial s'affiche. La valeur de n choisie par l’animation est la plus petite valeur permettant de respecter la relation np = λ.

 B) Cadre inférieur

        L’objectif de la Distribution de Poisson étant de fournir une approximation  de la Distribution Binomiale, on peut se demander quelle est la qualité de cette approximation. Le cadre inférieur donne une représentation graphique de cette qualité.

    * Observez d’abord dans le cadre supérieur que la Distribution Binomiale est plus haute que la Distribution de Poisson dans leurs parties « centrales », mais plus basse que cette dernière au-delà de certaines limites à droite et à gauche (bien entendu, la comparaison n’a plus de sens au-delà de n) :  la Distribution Binomiale est toujours plus "étroite" que la distribution de Poisson. Pouvez-vous expliquer pourquoi ? Sinon, reportez vous à la valeur de la variance de la distribution de Poisson.

Ceci n'est vrai que si on compare les écarts-types d'une Distribution de Poisson de paramètre λ, et d'une Distribution binomiale B(n, p)
telle que np = λ.

    * Dans le cadre inférieur, le graphe « en barres » représente le rapport :

Rapport = P_Bin.{X = k} / P_Pois.{X = k}

    * Une barre noire repésente une valeur de k pour laquelle la Distribution de Poisson majore (surestime) la Distribution Binomiale, alors qu’une barre rouge représente une valeur de k pour laquelle la Distribution de Poisson minore (sous-estime) la Distribution Binomiale.

    * Une barre interrompue montre une valeur de « Rapport » trop grande pour que sa représentation tienne dans le cadre.

    * L’axe horizontal dans la bande verte représente l’égalité parfaite entre P_Bin.{X = k} et P_Pois.{X = k}.

    * Sur la droite du cadre se trouve la grandeur « Tolérance », que l’utilisateur peut modifier pas-à-pas dans certaines limites.

    * Une barre dont l’extrémité supérieure est dans la bande verte est telle que :

            (P_Bin.{X = k} / P_Pois.{X = k}) < Tolérance

ou bien

            (P_Pois.{X = k} /P_Bin.{X = k}) < Tolérance

selon la couleur de la barre.

Une barre dont l’extrémité supérieure tombe hors de cette bande est représentée en couleur pâle.

Les valeurs de k pour lesquelles la Distribution de Poisson est une bonne approximation de la Distribution Binomiale sont donc celles dont les barres « Rapport » ont leurs extrémités supérieures dans la « bande de tolérance ». La partie centrale de la Distribution Binomiale n'est jamais celle pour l'approximation est la meilleure, et les extrémités de la Distribution Binomiale sont mal approximées.

On voit que, dans les limites des valeurs des paramètres accessibles à l’animation, le nombres de « bonnes » valeurs de k est toujours faible, et que les valeurs « centrales » sont souvent  mal approximées.

Cette remarque ne rend pas justice à la Distribution de Poisson : pour trouver des configurations où  l’approximation soit vraiment satisfaisante pour de nombreuses valeurs de k, il faudrait des valeurs de p beaucoup plus petites (de l’orde de 10^-2 ou moins), et des valeurs de n très grandes (plusieurs centaines ou plusieurs milliers) que celles disponibles dans l'animation. Il n'en reste pas moins que la qualité de l'approximation se dégrade très vite vers les extrémités de la Distribution Binomiale que l'on cherche à approximer.