ESQUISSE D'UNE DEMONSTRATION DU THEOREME DE FISHER

Les p formes linéaires  Y_i (  i = 1, ..., p) engendrent un hyperplan dans lequel les p axes orthogonaux {Y₁, ..., Y_p} forment un repère orthonormé. Le sous-espace supplémentaire Y est à n - p dimensions, et peut facilement être muni d'une repère orthonormé {Y_p+1, ..., Y_n} dont chaque axe est également orthogonal à chacun des Y_i (i = 1, ..., p).

Chacun des Y_i (i = p+1, ..., n) matérialise une variable Y_i~N(0, 1) (en raison de la symétrie sphérique de la distribution conjointe des X_i),  et ces Y_i sont indépendantes (en raison de l'orthogonalité des Y_i).

Sur la figure inférieure:

    * p = 1, et Y₁ est l'axe défini par la forme linéaire Y₁.

    * Le sous-espace supplémentaire est le plan rouge défini par Y₂ et  Y₃.

    * X_P est la projection du point X sur ce plan.

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Revenons maintenant à l'interprétation de

Q(X₁, X₂ , ..., X_n) = (_iX_i ²)  - Y₁² - Y₂² -...- Y_p²             p < n 

Cette interprétation a d'abord une partie géométrique, puis une partie probabiliste.

Geométrie

    1) _iX_i ²  est le carré de la distance du point X = (X₁, ..., X_n) à l'origine O.

    2) De cette quantité, on soustrait les carrés des projections de X sur p axes orthogonaux (les Y_i,   i = 1, ..., p).

    3) D'après le Théorème de Pythagore, ce qui reste (ç.à.d. Q) est la somme des carrés des projections de X sur les n - p axes supplémentaires. En fait, Q est le carré de la distance à l'origine de X_P, la projection de X sur le sous-espace supplémentaire.

Le carré de la longueur de OX_P est donc:

OX_P² =_iY_i ²            i = p + 1, ..., n

Probabilités

    * Chacune des Y_i est N(0, 1) et ces variables sont indépendantes. Donc le carré de la longueur de OX_P  est la somme de n - p variables indépendantes (sur la figure, les projections de X_P sur Y₂ et Y₃) toutes N(0, 1), et est donc distribuée comme _{n - p}.

    * De plus, Q est une fonction de variables (les Y_i supplémentaires) indépendantes des Y_i,   i = 1, ..., p, et est donc indépendante de chacune d'entre elles.