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ANOVA
Un des tests fondamentaux de la Statistique.
ANOVA est l'acronyme de "ANalysis Of VAriance", ou "Analyse de la Variance".
Les trois groupes d'observations représentés ci-dessous ont été engendrés par trois distributions de probabilité dont on sait avec certitude qu'elles sont :
* Normales,
* De variances identiques σ²,
* Et indépendantes.
Par contre, on n'a aucune certitude concernant l'égalité de leurs moyennes.
ANOVA est un test dont l'objectif est de tester l'hypothèse selon laquelle les moyennes de ces trois distributions normales sont effectivement identiques.
Plus généralement, soient k groupes d'observations issus de k distribution normales indépendantes de variances identiques, et de moyennes respectives µ1, µ2, ..., µk. Les groupes n'ont pas besoin d'avoir des effectifs égaux.
ANOVA va tester :
L'analyste ayant préalablement choisi un niveau de risque α (typiquement 0,05 ou 0,01) :
Donc ANOVA peut donc être perçue comme une généralisation du test t de Student à plus de deux groupes.
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Comme tous les tests, ANOVA est utilisée dans l'espoir d'infirmer l'hypothèse nulle. Ainsi, si plusieurs groupes de patients souffrant d'hypertension sont soumis chacun à un traitement expérimental, on pense que ces traitements auront des effets différents, et on espère que certains d'entre eux s'avèreront particulièrement efficaces. Une ANOVA, effectuée sur des mesures de pression artérielle après traitement, devra alors montrer qu'il en est bien ainsi en tentant de rejeter l'hypothèse d'une égalité des moyennes des pressions artérielles de chaque groupe.
Cette animation illustre le concept d'ANOVA. Elle se place dans le contexte où l'hypothèse nulle :
H0 : Toutes les moyennes sont égales
est vraie.
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Cadre supérieurLes distributions normales ayant engendré les groupes étant de moyennes et de variances identiques, et les groupes étant indépendants, ces distributions sont représentées par une unique distribution normale, dont sont tirés les groupes d'observations (4 groupes dans la configuration initiale). Les moyennes des groupes sont représentées par des lignes verticales colorées. Cadre inférieurDistribution de FisherLa courbe rouge est la distribution théorique de la statistique d'ANOVA. C'est une distribution de Fisher F (df1, df2) avec :
Les valeurs de ces nombres de degrés de liberté sont affichées dans le coin supérieur droit du cadre. La valeur courante de la statistique du test est affichée sous le coin inférieur droit du cadre, et est représentée par une ligne verticale noire. Région critiqueLa zone critique est représentée en jaune, sous l'extrémité droite de la courbe de Fisher. Le niveau de risque (ou "de signification") du test a été choisie égale à α = 0,1. Cette valeur est supérieure à celles habituellement utilisées en pratique (typiquement 0,05 ou 0,01), mais elle rend l'animation plus lisible. La valeur critique correspondante est affichée sous la limite gauche de la zone critique. Sommes des CarrésSous le cadre supérieur sont affichées les valeurs de :
Ces quantités sont à la base du calcul de la statistique du test (voir Tutoriel). ContrôlesModes de fonctionnementL'animation a deux modes de fonctionnement :
Nombre de groupesLe nombre de groupes est 3 ou 4 (La valeur par défaut est 4).
Nous retrouvons là des résultats déjà obtenus lors de la présentation de la distribution F EffectifsSélectionnez un numéro de groupe, et changez l'effectif du groupe (limité à 5 observations). Observez les (faibles) changements de forme de la distribution de Fisher, et de la valeur critique associée. AnimationChoisissez un mode de fonctionnnement (le mode par défaut à l'ouverture, ou bien le mode "Histogramme"), ainsi que le nombre de groupes et les effectifs des groupes. Cliquez sur "Go".
L'animation peut être stoppée à tout moment en cliquant sur "Pause". Le bouton "Next" permet alors de poursuivre l'animation pas-à-pas. En cliquant sur "Resume", on relance le déroulement automatique de l'animation. Les groupes peuvent être masqués en cliquant sur le bouton "Mask groups".
Pour stopper définitivement l'animation et retrouver les paramètres originaux, cliquez sur "Reset". |
ANOVA est un test global. Si l'hypothèse d'égalité des moyennes est rejetée, ANOVA ne fournit pas d'analyse des raisons de ce rejet. L'exemple ci-dessus montre pourtant tout l'intérêt qu'il y aurait à pouvoir poursuivre l'analyse plus avant, par exemple en identifiant un groupe plus particulièrement "responsable" de ce rejet.
Cette question est difficile.
La Statistique a été amenée à développer un grand nombre de tests consécutifs à une ANOVA ayant rejeté l'hypothèse nulle, et destinés à analyser des raisons ayant amené ce rejet. Ces tests sont qualifiés de "a posteriori", ou "post hoc".
Par exemple, le test de Dunnett, a pour objectif est d'identifier un groupe parmi k dont la moyenne serait significativement différente de celle d'un groupe témoin (typiquement, un groupe auquel aurait été administré un placebo).
ANOVA repose sur des hypothèses très restrictives (normalité et égalité des variances des distributions), et parfois considérées comme irréalistes. Avant de procéder à une ANOVA, il convient donc de vérifier, ou mieux, de tester ces hypothèses par :
S'il apparaît que les données sont incompatibles avec les hypothèses d'ANOVA, il restera cependant possible de tester l'hypothèse d'égalité des moyennes en recourant à un test non paramétrique, le test de Kruskal-Wallis.
Rappelons que "ANOVA" signifie "Analyse de la Variance".
Il peut être surprenant de voir figurer le mot "variance" dans le
nom d'un test portant sur des moyennes. La raison est la suivante : si les moyennes des distributions sont différentes les unes
des autres, alors la variance du "méga-échantillon" regroupant
toutes les observations (sans référence à leur groupe) sera probablement plus
grande que la variance commune à chacune des distributions.
Les moyennes
sont donc indirectement comparées par un jeu de comparaisons de variances.
ANOVA est utilisée sur des échantillons "natifs", comme dans l'exemple brièvement évoqué ci-dessus. Mais on la rencontre également dans d'autres contextes :
Une des approches classiques de la Classification consiste à identifier des axes tels que les projections des classes sur ces axes soient "le plus séparées possible". Or le cœur d'ANOVA est la statistique F de Fisher (voir tutoriel ci-dessous), que l'on peut considérer comme une mesure de séparation d'échantillons issus de distributions normales de variances égales. Le niveau de signification d'un axe factoriel définis par l'AFD est donc tout naturellement déterminé par une ANOVA.
Le test de validité d'une Régression Linéaire (voir p. ex. ici) se résume par un tableau dit "ANOVA". La raison en est que le cœur de ce test est une "décomposition de la variance" de la variable à expliquer qui suit le même chemin mathématique que celui de l'ANOVA décrite dans cette page, bien qu'il n'y ait alors pas de "groupes".
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Tutoriel 1 |
Ce premier Tutoriel est un petit panorama de l'ANOVA univariée sans aucun recours aux mathématiques. Il explique le principe d'ANOVA, qui est à la fois simple et très astucieux.
PETIT PANORAMA D'ANOVA UNIVARIEE
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Rappel : objectif d'ANOVA Principe d'ANOVA L'hypothèse nulle est vraie L'hypothèse nulle est fausse Le test |
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TUTORIEL |
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Tutoriel 2 |
Nous décrivons ensuite l'étape dite "de décomposition de la variance", similaire à celle que l'on retrouve dans le test de validité d'une Régression Linéaire. Cette étape est purement géométrique, et ne fait pas appel à des notions probabilistes.
DECOMPOSITION DE LA VARIANCE
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Notations Décomposition de la variance La Somme des Carrés des Ecarts Totale (SCET) Décomposition de SCET Somme des Carrés des Ecarts Factoriels (SCEF) Somme des Carrés des Ecarts Résiduels (SCER) Equation de décomposition de la variance |
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TUTORIEL |
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Tutoriel 3 |
Les diverses Sommes des Carrés sont des variables aléatoires, dont on étudie ensuite les distributions et les propriétés en tant qu'estimateurs de σ². Malheureusement, le résultat clé (distribution de la somme des carrés des écarts factoriels) fait appel à un résultat mathématique qui dépasse le cadre de ce Glossaire, et que nous donnerons sans démonstration.
DISTRIBUTIONS DES SOMMES DE CARRES
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Somme des Carrés des Ecarts Totale Distribution Estimation de σ² Somme des Carrés des Ecarts Résiduels Distribution Estimation de σ² Une tentative prématurée Somme des Carrés des Ecarts Factoriels (sans démonstration) Distribution Estimation de σ² |
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TUTORIEL |
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Tutoriel 4 |
Nous décrivons enfin la statistique utilisée par ANOVA. Elle s'avère suivre une distribution de Fisher, et ANOVA se ramène donc en définitive à un test F classique.
LE TEST F D'ANOVA
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La statistique d'ANOVA La statistique F de Fisher Carrés moyens Le test F Le tableau ANOVA |
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Voir aussi:
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