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Bartlett (Test d'homogénéité des variances de)
Ces k groupes d'observations ont été générés par k distributions normales indépendantes de variances respectives σ²1, σ²2, ..., σ²k.
Ces k variances sont-elles égales ?
Les moyennes (positions horizontales des groupes) ne jouent aucun rôle.
Cette question est importante parce que certaines techniques majeures comme ANOVA supposent explicitement que les groupes d'observations considérés sont issus de populations normales indépendantes de variances identiques. Il convient donc, avant de lancer une ANOVA, de vérifier que les données ne sont pas en contradiction avec cette hypothèse, et donc de commencer dans un premier temps par soumettre les données à un test d'homogénéité des variances comme par exemple le test de Bartlett.
Un test d'homogénéité des variances met en concurrence
* L'hypothèse nulle H0 : σ²1 = σ²2 = ... = σ²k ( = σ²),
et
* L'hypothèse alternative H1 : "Au moins une des variances est différente des autres".
1) Remarquez la similarité formelle entre ces hypothèses
et celles d'ANOVA, le terme "moyennes" étant remplacé
par le terme "variances".
2) Quand k = 2, le test d'homogénéité
des variances est simplement le test F.
Notons n1, n2, ..., nk les tailles respectives des groupes.
La statistique du test de Bartlett est :
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où
* νi = ni - 1,
* s²i est l'estimateur sans biais classique de σ²i,
* Et s² est l' "estimateur agrégé" de la variance commune σ² sous H0 :
C'est le barycentre des variances des différents groupes pondérées par les tailles respectives des groupes moins 1.
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La partie fonctionnelle de la statistique est le numérateur A.
Le dénominateur B ne contient pas de grandeur aléatoire. C'est un "facteur de correction" destiné à rapprocher la distribution de la statistique de Bartlett de sa forme asymptotique (voir ci-dessous). Son rôle est de rendre l'espérance de la statistique de test Q égale à la moyenne de cette distribution asymptotique. On voit immédiatement que B tend vers 1 quand les tailles des groupes tendent vers l'infini.
Nous montrerons que le numérateur A est de la forme -2log(Λ), où Λ est la statistique du Test du Rapport de Vraisemblance (TRV) construit dans le but de tester les deux hypothèses ci-dessus. Ainsi, il apparaît que le test de Bartlett est une version améliorée du TRV destiné à tester l'hypothèse d'homogénéité des variances de distributions normales indépendantes.
Par conséquent, la distribution asymptotique de Q est une distribution du Chi-2 dont nous montrerons que le nombre de degrés de liberté est égal à k - 1. Comme la distribution exacte de la statistique de Bartlett n'est pas connue, le test utilise cette distribution asymptotique comme approximation de sa distribution réelle.
La statistique de Bartlett ne suivant qu'approximativement une distribution du Chi-2, le test de Bartlett a de mauvaises perfomances sur des petits échantillons.
Le test de Bartlett est très sensible aux écarts à la normalité des distributions considérées.
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Tutoriel |
Dans ce Tutoriel, nous calculons la statistique standard Λ du Test du Rapport de Vraisemblance (TRV) conçu pour tester l'homogénéité des variances de plusieurs distributions normales indépendantes. Nous montrerons ensuite que le numérateur de la statistique de Bartlett est obtenu par une modification mineure de la variable -2log(Λ).
Le "facteur de correction" de la statistique de Bartlett sera rappelé sans démonstration, laquelle est difficile.
TEST DE BARTLETT
(Homogénéité des variances)
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Les hypothèses Vraisemblance de l'ensemble des observations Maximisation de la vraisemblance sous H0 L'espace des paramètres Maximisation de la vraisemblance Maximisation de la vraisemblance sous H0 U H1 L'espace des paramètres Maximisation de la vraisemblance La statistique de Bartlett La statistique Λ Distribution asymptotique Amélioration de la statistique du TRV
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TUTORIEL |
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Voir aussi :
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