Beta  (Distribution)

Définition de la distribution Beta

Un premier exemple : statistiques d'ordre de la distribution uniforme

En n'ayant recours qu'à des arguments très simples, nous avons montré que la fonction de densité de probabilité (fdp) de la statistique d'ordre de rang k de la distribution uniforme dans [0, 1] est :

où n est la taille de l'échantillon.

Il est souvent commode d'exprimer des factorielles en termes de la fonction Gamma qui satisfait à la relation de récurrence

Γ(m) = (m - 1)!

où m est un entier. L'expression ci-dessus devient alors

avec :

    * α = k

    * β = n - k + 1

Ici, α et β sont des entiers, mais l'expression reste mathématiquement correcte si cette condition est assouplie, et qu'il ne soit plus exigé de α et β que d'être des nombres réels positifs. Il n'y a cependant plus alors de raison de penser que f_α,β (x) est encore une fdp. Ceci ne serait vrai que si

et donc que si

pour toute paire de nombres réels positifs (α, β).

Cette condition est bien vérifiée, comme nous le montrerons dans le Tutoriel ci-dessous.

Relation entre fonction Beta et fonction Gamma

L'intégrale

définit une fonction de α et β appelée fonction Beta. Donc nous montrerons qu'il existe entre les fonctions Beta et Gamma la relation suivante :

Dans ce qui suit, nous n'utiliserons plus la fonction Beta, et nous nous servirons de cette expression pour exprimer tous les résultats en termes de la fonction Gamma.

Gamma(1/2)

Nous montrerons qu'une conséquence immédiate de cette importante équation est :

La distribution Beta

Nous avons donc identifié une famille de distributions continues dans [0, 1] indexée par les deux nombres réels positifs  α et β. Une distribution de cette famille est appelée distribution Beta et est notée Beta(α, β).

La fonction de densité de probabilité de la distribution Beta est :

Animation

Cette animation illustre la distribution Beta.

 Faites glisser les curseurs et observez la grande diversité des formes de la distribution Beta.

    1) Quand α et β sont tous deux supérieurs à 1, la distribution Beta est unimodale, et sa densité est nulle aux extrémités du domaine.

     2) Quand α est supérieur à 1 et β est inférieur à 1, la fonction de densité est monotone croissante à partir de 0, et l'axe vertical x = 1 est une asymptote verticale (avec le résultat inverse quand α est inférieur à 1 et β est supérieur à 1).

    3) Quand α = 1 et β est supérieur à 1, la fonction de densité est une puissance monotone décroissante de x avec une ordonnée à l'origine finie (avec le résultat inverse quand β = 1 et α est supérieur à 1).

La densité est linéaire quand α = 1 et β = 2.

    4) Quand α = 1 et β est inférieur à 1, la densité est monotone croissante et l'axe x = 1 est une asymptote (avec le résultat opposé quand β = 1 et α est inférieur à 1).

    5) La densité est convexe (en forme de U) quand α et β sont tous deux inférieurs à 1. Les deux axes verticaux sont alors des asymptotes.

    6) La densité est uniforme dans [0, 1] quand α et β sont tous les deux égaux à 1.

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Quand α = β, la distribution Beta est symérique par rapport à x = 0,5 (cliquez sur "Lock").

Propriétés de la distribution Beta

Transposition des paramètres

Il est clair que

Beta_{β, α}(x) = Beta_{α, β} (1 - x) 

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Nous établirons les propriétés suivantes de la distribution Beta.

Moments de tous ordres

Le moment d'ordre p de la distribution Beta est

Moyenne

La moyenne µ de la distribution Beta est :

Variance

La variance σ² de la distribution Beta est :

Mode

Nous laissons au lecteur le soin de montrer que quand α et β sont tous deux supérieurs à 1, le mode de la distribution Beta est :

Statistiques exhaustives

Nous identifions ici des statistiques exhaustives pour α, pour β, ainsi que pour le couple (α, β) quand les valeurs de ces paramètres sont toutes deux inconnues.

Nous montrons ensuite que ces statistiques sont en fait exhaustives minimales. 

Transformation en une distribution Beta

La distribution Beta est reliée :

    * A la distribution Gamma,

    * Ainsi qu'à la distribution F de Fisher.

Relation entre distribution Gamma et distribution Beta

Soient :

    * X ~ Gamma(α, θ)

    * Y ~ Gamma(β, θ)

deux variables aléatoires Gamma indépendantes dont les distributions ont la même valeur θ pour le second paramètre.

Nous montrerons que :

Relation entre distribution F de Fisher et distribution Beta

Soit F une variable aléatoire suivant la distribution de Fisher F_{n ,m} .

Nous montrerons que :

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Dans ce Tutoriel, nous commençons par établir la relation entre les fonctions Gamma et Beta. Ce résultat justifiera le fait que l'expression suggérée pour la distribution Beta est effectivement une fonction de densité de probabilité. Tous les résultats seront par la suite exprimés en termes de la fonction Gamma.

Nous montrerons qu'il en découle immédiatement que

un résultat auquel nous ferons souvent appel.

Nous établissons ensuite les propriétés élémentaires de la distribution Beta. Ceci s'avèrera particulièrement simple en raison de la structure particulière de la fdp de la distribution Beta.

Nous établirons enfin les relations entre :

    * La distribution Gamma et la distribution Beta comme énoncée ci-dessus. La démonstration montrera également que (X + Y ) et X / (X + Y ) sont des v.a. indépendantes, un résultat inattendu. En prime, nous découvrirons à nouveau la propriété d'additivité de la distribution Gamma.

    * La distribution F de Fisher et la distribution Beta, comme énoncée ci-dessus.

LA DISTRIBUTION BETA

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Voir aussi :