Bienaymé-Tchebychev  (Inégalité de)

L'inégalité de Markov fournit une borne supérieure de la probabilité pour qu'une variable aléatoire non négative soit supérieure à un nombre positif a. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev fait de même, mais en supprimant la contrainte de non-négativité. Le prix à payer pour cette généralisation est que la v.a. doit maintenant avoir une variance (ce que l'inégalité de Markov n'exige pas).

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev existe sous deux formes équivalentes et presque identiques :

Première forme

Pour toute v.a. X ayant pour moyenne µ et pour variance s², et pour tout nombre positif k :

Deuxième forme

Pour toute v.a. X ayant pour moyenne µ et pour variance s², et pour tout nombre positif k :
 

Cette seconde forme utilise l'écart-type comme "unité de longueur" pour mesurer la distance séparant une réalisation de X de la moyenne µ. Elle s'énonce :

La probabilité pour qu'une réalisation de X tombe à une distance de la moyenne supérieure à k fois l'écart-type est inférieure à 1/k².

Nous démontrons ici l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

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L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est la clé de la Loi Faible des Grands Nombres.

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Voir aussi :