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Binomiale (Distribution, ou Loi)

Vous jouez à Pile ou Face avec une pièce dont la probabilité de retomber sur "Pile" est p, et donc la probabilité de retomber sur "Face" est q = 1 - p.

Vous lancez la pièce n fois, et la pièce retombe k fois sur "Pile" (k n). Bien sûr, si vous procédez à une deuxième série de n lancers, vous vous attendez à ce que le nombre de fois où la pièce retombe sur "Pile" soit différent. Donc k est la réalisation d'une variable aléatoire que nous désignons par X.

X suit, par définition, une distribution binomiale de paramètres n et p, qui est notée B(n, p). Cette distribution est entièrement définie par la liste des probabilités d'obtenir k "Piles" en n lancers, pour toutes les valeur de k de 0 à n. Ces probabilités sont notées P_n,p{X = k}.

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Propriétés élémentaires de la distribution binomiale

Distribution de probabilité

La probabilité d'obtenir k Piles dans une série de n lancers est :

P_n,p(X = k) = C(n, k).p^k.(1 - p)^{n - k}

où C(n, k) est le nombre de combinaisons de k objets parmi n:

C(n, k) = n!/[k!.(n - k)!]

Moyenne

C'est le nombre de Piles que vous obtiendrez, en moyenne, dans une série de n lancers.

µ = np

Variance

s² = np(1 - p)

Remarquez que la variance est très faible si p est proche de 0 ou bien de 1. Dans le premier cas, le nombre de Piles sera presque toujours très proche de 0, et presque toujours très proche de 1 dans l'autre cas : dans le deux cas, ce nombre est très stable..

Montrez que la variance est maximale pour p = 0,5.

Fonction génératrice des moments

M(t) = (pe^t + q)ⁿ

Additivité

Soient X₁ et X₂ deux variables binomiales indépendantes de distributions respectives B(n₁ , p) et B(n₂ , p). Alors la variable X = X₁ + X₂ a également une distribution binomiale de loi B(n₁ + n₂, p).

Distribution binomiale et distribution de Poisson

Pour n grand et p petit, la distribution binomiale peut être approximée par la distribution de Poisson, plus simple.

Distribution multinomiale

Les tirages donnant naissance à la distribution binomiale ne produisent que deux résultats : "Pile" ou bien "Face". Si les tirages peuvent produire plus de deux résultats différents (comme par exemple avec un dé), la distribution correspondante est alors la distribution multinomiale, qui généralise donc la distribution binomiale.

Estimation des paramètres

Estimation par la méthode des moments

Nous utilisons la distribution binomiale pour illustrer le fait que la Méthode des Moments peut être utilisée pour estimer simultanément plusieurs paramètres d'une distribution même lorsque ces paramètres ne sont pas des moments (comme c'est le cas, par exemple, pour la distribution normale).

Dans le Tutoriel ci-dessous, nous utilisons la Méthode des Moments pour estimer simultanément les paramètres n et p de la distribution binomiale B(n, p).

Estimation par Maximum de Vraisemblance

La distribution binomiale conduit souvent à des calculs volumineux, voire inextricables. Cependant, nous montrerons que n peut également être estimé par la méthode du Maximum de Vraissemblance (en supposant p connu). Le résultat ne se présente pas sous une forme analytique fermée, mais sous la forme d'une équation qui peut être résolue par des méthodes numériques.

Résultats additionnels

* Nous calculons ici la distribution du nombre de Piles dans les m premiers lancers d'une série de n lancers conditionnellement au nombre total de Piles dans la série complète de n lancers. Ce calcul apparaît au cours de l'identification d'une statistique exhaustive pour le paramètre p de la distribution binomiale.

* Dans la même veine, nous calculons ici l'espérance de ce même nombre de Piles.

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* Nous calculons ici les distributions de deux variables binomiales indépendantes de même paramètre p mais de tailles différentes conditionnellement à la valeur de leur somme. Le résultat sera la clé du test de Fisher-Irwin, qui permet de tester l'égalité des valeurs des paramètres p de deux distributions de Bernoulli indépendantes.

Calculette

Utilisez notre Calculette Binomiale pour calculer les probabilités ou probabilités cumulées dont vous avez besoin.

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Tutoriel

Nous établissons ici les résultats élémentaires relatifs à la distribution binomiale.

Nous concluons ce Tutoriel en estimant n de deux façons différentes :

* Par la Méthode des Moments.

* Par la méthode du Maximum de Vraisemblance.

DISTRIBUTION BINOMIALE : PROPRIETES ELEMENTAIRES

Fonction de probabilité

Moyenne µ

Variance s²

Fonction génératrice des moments

Méthode directe

Méthode indirecte

Moments

Additivité

Méthode directe

Par f.g.m.

Estimation

Estimation simultanée de n et de p par la Méthode des Moments

Estimation de n (p connu) par la méthode du Maximum de Vraisemblance

TUTORIEL

* Paramètre et taille d'échantillon ajustables.

* Moyenne, mode, écart-type.
* Construction progressive de l'histogramme.

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Voir aussi:

Distribution multinomiale
Rôle de B(n ,p) dans les Statistiques d'Ordre
Distribution binomiale et distribution de Poisson
Rôle de B(n ,p) dans la stabilité des histogrammes
Distribution binomiale négative
Variance limite de la distribution hypergéométrique
Distributions conditionnelles de variables binomiales

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