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Animation interactive |
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Binomiale négative (Distribution)
Vous jouez à pile-ou-face. Vous décidez de jouer tant que "Pile" n'est pas apparu exactement k fois, et alors d'arrêter alors la "partie". Combien de fois devrez vous lancer la pièce?
Si, après une première partie, vous décidez d'en jouer une deuxième, vous vous attendez à ce que, probablement, le nombre de lancers que vous devrez effectuer pour "gagner" cette seconde partie soit différent du nombre de lancers dont vous avez eu besoin pour gagner la première. Le nombre L de lancers nécessaires pour gagner une partie est donc une variable aléatoire. La distribution de cette v.a. est, par définition, une distribution binomiale négative.
La distribution géométrique apparaît donc comme un cas particulier de la distribution binomiale négative pour k = 1.
Une distribution binomiale négative est définie par deux paramètres :
Vous trouverez ici une animation interactive illustrant la Distribution Binomiale Négative.
Nous donnons ci-dessous une définition légèrement différente
de la Distribution Binomiale Négative, conduisant à des propriétés légèrement
différentes.
Nous établirons les propriétés élémentaires suivantes de la distribution binomiale négative :
La probabilité Pk{L = n} pour qu'il faille lancer la pièce n fois avant d'obtenir k fois "Pile" est :
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avec n = k, k +1, k + 2 ......
et où :
est le nombre de combinaisons de B objets pris parmi A.
On remarquera que l'on retrouve la distribution géométrique pour k = 1.
On a :
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qui est égale à k fois la moyenne de la distribution géométrique pour la même valeur de p.
On a :
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qui est égale à k fois la variance de la distribution géométrique pour la même valeur de p.
Cette relation simple entre "distribution géométrique" et "distribution binomiale négative" est justifiée ci-dessous.
Soient k variables indépendantes Gi, toutes distribuées selon la distribution géométrique de paramètre p. Nous montrerons que la somme L de ces variables :
L = 
i
Gi i
= 1, 2, ..., k
a une distribution binomiale négative de paramètres p et k.
Ce résultat explique très simplement les valeurs de la moyenne et de la variance de la distribution binomiale négative.
Il existe plusieurs "définitions" concurrentes de la distribution binomiale négative selon le contexte dans lequel se situe le problème. Si le tirage d'un "Pile" est considéré comme un "succès" et le tirage d'un "Face" considéré comme un "échec", on est souvent amené à se poser la question "Combien d'échecs devra-t-on surmonter avant d'obtenir k succès ?". La variable aléatoire concernée est alors F, le nombre de "Faces", une série gagnante contenant alors k "Piles", f faces, pour un total de l = f + k lancers, la série se terminant toujours par un "Pile". On a alors :
avec f = 0,
1, 2, ...
La moyenne est alors :
La moyenne est plus petite d'un facteur q que pour la première définition.
Par ailleurs :
La variance a la même valeur que pour la première définition.
On remarquera que maintenant, la variance est toujours supérieure à la moyenne (d'un facteur 1/p). Une distribution possédant cette propriété est dite "surdispersée". On rapprochera ce résultat de celui de la Distribution de Poisson, pour laquelle la moyenne l est toujours égale à la variance, et qui est donc un cas "limite".
Les résultats relatifs à cette seconde définition ne sont pas démontrés dans le Tutoriel ci-dessous, mais s'obtiennent exactement de la même façon que les résultats relatifs à la formulation que nous avons retenue (et qui, eux, sont démontrés dans le Tutoriel).
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Tutoriel |
Ci-dessous est la Table des Matières du Tutoriel sur le Distribution Binomiale Négative.
DISTRIBUTION BINOMIALE NEGATIVE
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Forme analytique de la distribution binomiale négative Pourquoi "binomiale négative" ? Dérivation du développement de Mclaurin Dérivée première Dérivée seconde Moyenne µ Translation de la distribution Moyenne de la distrbution Variance s² Somme de variables géométriques indépendantes Additivité Fonction génératrice des moments M(t) F.g.m. Moyenne Variance |
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TUTORIEL |
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* Paramètre et "taille" ajustables. * Moyenne, mode. |
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Voir aussi:
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Distribution géométrique |
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Distribution de Poisson |
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