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Binomiale négative (Distribution)
Vous jouez à Pile-ou-Face. Vous décidez de jouer tant que Pile n'est pas apparu exactement k fois, et alors d'arrêter alors la partie. Combien de fois devrez vous lancer la pièce?
Si, après une première partie, vous décidez d'en jouer une deuxième, vous vous attendez à ce que le nombre de lancers que vous devrez effectuer pour gagner cette seconde partie soit différent du nombre de lancers dont vous avez eu besoin pour gagner la première. Le nombre X de lancers nécessaires pour gagner une partie est donc une variable aléatoire. La distribution de cette v.a. est, par définition, une distribution binomiale négative.
La distribution géométrique apparaît donc comme un cas particulier de la distribution binomiale négative pour k = 1.
Une distribution binomiale négative est définie par deux paramètres :
* p, la probabilité qu'un lancer produise Pile,
* k, le nombre de Piles que vous vous imposez de tirer avant d'arrêter le jeu. Ce paramètre est parfois appelé la "taille" de la distribution.
Nous donnons ci-dessous une définition légèrement différente
de la Distribution Binomiale Négative, conduisant à des propriétés légèrement
différentes.
Cette animation illustre la distribution Binomiale Négative.
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Rappel Dans cette animation, la définition retenue de la Distribution Binomiale Negative est : * Distribution du nombre de lancers nécessaires pour obtenir k Piles, et non : * Distribution du nombre de Faces avant d'avoir obtenu k Piles.
La probabilité p Faites glisser avec votre souris la limite entre les zones blanche et grise du rectangle supérieur. Vous ajustez ainsi la valeur de la probabilité p, qui est égale au rapport de la longueur de la zone blanche à la longueur totale du rectangle.
La forme générale de la distribution change avec p. * Pour les faibles valeurs de p, la distribution s'élargit, s'aplatit, le mode et la moyenne se déplacent vers la droite, et l'allure de la distribution est celle d'une courbe (discrète) en cloche de plus en plus symétrique. * Pour les grandes valeurs de p, la distribution se "tasse" vers la gauche, le mode remonte, la distribution devient franchement asymétrique. Pour une "certaine" valeur de p (pouvez-vous déterminer laquelle ?), les deux premières positions non nulles ont la même hauteur. Pour les valeurs de p supérieures à cette valeur limite, la distributiion restera monotone décroissante.
Cadre inférieur Le cadre inférieur montre la Distribution Binomiale Negative pour les valeurs de p et de k choisies. Notez que les k - 1 premières positions sont vides, puisqu'il faut au moins k tirages pour obtenir k "Piles".
La ligne verticale bleue matérialise la position de la moyenne de la distribution.
La valeur de k peut être changée par les boutons "Size". Quand k augmente : * Le nombre de positions vides à gauche augmente évidemment. * Le mode de la distribution se décale sur la droite et devient de moins en moins haut. * La distribution prend une forme générale qui ressemble de plus en plus à une gaussienne.
Pour k = 1, on retrouve la distribution géométrique.
Animation Cliquez sur "Go" et observez la construction progressive de l'histogramme de la Distribution Binomiale Négative BNk(n, p). Cliquez sur "Pause", puis sur "Next". Un échantillon se construit pas à pas. La construction se poursuit tant que le nombre de points rouges (correspondant à Pile) situés dans la zone blanche est inférieur à k. Elle s'arrête au tirage du kème point rouge. En cliquant à nouveau sur "Next", vous créez un nouvel échantillon etc...
Relancez l'animation en cliquant sur "Resume".
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Nous établirons les propriétés suivantes de la distribution binomiale négative :
La probabilité Pk{X = n} pour qu'il faille lancer la pièce n fois avant d'obtenir k fois Pile est :
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avec n = k, k +1, k + 2 ......
et où :
est le nombre de combinaisons de B objets pris parmi A.
On a :
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qui est égale à k fois la moyenne de la distribution géométrique pour la même valeur de p.
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Nous calculons ici les ESBVM :
* De la moyenne k/p de la distribution binomiale négative,
* Ainsi que ceux des puissances entières pr de p.
On a :
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qui est égale à k fois la variance de la distribution géométrique pour la même valeur de p.
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Nous calculons ici l'ESBVM de la variance de la distribution binomiale négative.
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Les relations simples entre les propriétés élémentaires de la distribution géométrique et de la distribution binomiale négative sont justifiées ci-dessous.
Soient k variables indépendantes Gi, toutes distribuées selon la distribution géométrique de paramètre p. Nous montrerons que la somme L de ces variables :
L = Σi Gi i = 1, 2, ..., k
suit une distribution binomiale négative de paramètres p et k.
Ce résultat explique très simplement les valeurs de la moyenne et de la variance de la distribution binomiale négative.
Nous montrons ici que la famille des distributions binomiales négatives NBk(n, p) pour une valeur fixée de k est une famille exponentielle à un paramètre. En conséquence :
1) La statistique T = Σi Xi est exhaustive minimale et complète pour le paramètre p.
2) La moyenne µ
de la distribution est estimée efficacement par la moyenne empirique
.
Il existe plusieurs définitions concurrentes de la distribution binomiale négative selon le contexte dans lequel se situe le problème. Si le tirage d'un Pile est considéré comme un "succès" et le tirage d'un Face considéré comme un "échec", on est souvent amené à se poser la question : "Combien d'échecs devra-t-on surmonter avant d'obtenir k succès ?". La variable aléatoire concernée est alors F, le nombre de Faces, une série gagnante contenant alors k Piles, f faces, pour un total de l = f + k lancers, la série se terminant toujours par un Pile. On a alors :
avec f = 0,
1, 2, ...
La moyenne est alors :
La moyenne est plus petite d'un facteur q que pour la première définition.
Par ailleurs :
La variance a la même valeur que pour la première définition.
On remarquera que maintenant, la variance est toujours supérieure à la moyenne (d'un facteur 1/p). Une distribution possédant cette propriété est dite "surdispersée". On rapprochera ce résultat de celui de la Distribution de Poisson, pour laquelle la moyenne λ est toujours égale à la variance, et qui est donc un cas "limite".
Les résultats relatifs à cette seconde définition ne sont pas démontrés dans le Tutoriel ci-dessous, mais s'obtiennent exactement de la même façon que les résultats relatifs à la formulation que nous avons retenue (et qui, eux, sont démontrés dans le Tutoriel).
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Tutoriel |
Ci-dessous est la Table des Matières du Tutoriel sur la distribution Binomiale Négative.
DISTRIBUTION BINOMIALE NEGATIVE
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Fonction de masse de la distribution binomiale négative Pourquoi "binomiale négative" ? Dérivation du développement de Mclaurin Dérivée première Dérivée seconde Moyenne µ Translation de la distribution Moyenne de la distrbution Variance σ² Somme de variables géométriques indépendantes Additivité Fonction génératrice des moments M(t) Fgm Moyenne Variance |
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TUTORIEL |
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Voir aussi:
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Distribution géométrique |
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Distribution de Poisson |
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