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Binomial (Théorème)
Aussi appelé "Théorème du binôme".
Un important théorème qui, en particulier, se rencontre souvent en théorie des probabilités.
Le théorème binomial ordinaire énonce que si n est un entier non négatif, alors, pour tout x :
où
est le nombre de façons différentes de sélectionner i objets parmi n.
Le développement de (1 + x)n comprend (n + 1) termes.
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Rappelons que la fonction de masse de la distribution binomiale est :
d'où le nom de la distribution.
Il est remarquable que ce résultat puisse s'étendre au cas où l'exposant n est un nombre réel quelconque a, sous la réseve |x| < 1. Le "théorème binomial généralisé" énonce alors que :
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où maintenant, par définition :
Remarquons que :
1) Si a n'est pas un entier non négatif, la série a bien un nombre infini de termes.
2) Mais si a est un entier n, tous les termes après les (n + 1) premiers sont nuls. De plus, on a alors
et l'on retrouve le théorème binomial ordinaire.
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La démonstration du théorème binomial généralisé est au-delà des limites de ce Glossaire.
L'expression du théorème binomial généralisé peut se mettre sous plusieurs formes, dont nous donnons ici les deux que nous serons amenés à utiliser dans ce site.
Nous recherchons le développement de
où n est un entier positif.
Nous avons
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Remarquons que bien que n soit un entier, le développement a maintenant une infinité de termes.
Nous considérons le cas où x est un nombre négatif supérieur à -1. En changeant les notations, nous voulons le développement de
où x et n sont tous deux positifs.
En changeant x en -x dans le résultat précédent, on a
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En particulier, si n = 1, on obtient comme cas particulier la somme de la série géométrique
avec |x| < 1.
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