|
|
|
|
|
|
|
Animation interactive |
|
Cauchy (Distribution de)
Aussi connue sous le nom de "Distribution de Lorentz".
Soit une source isotrope de particules émettant dans le plan, et D une droite du plan à distance unité de la source. Alors la position des impacts des particules sur D est une variable aléatoire qui suit, par définition, une distribution de Cauchy.
Autrement dit, si q est distribué uniformément entre -p/2 et + p/2 , alors tg(q) est distribuée selon la distribution de Cauchy.
(Voir aussi animation).
Nous montrerons que la densité de probabilité de la distribution de Cauchy est :
|
|
Deux autres variables aléatoires classiques suivent également des distributions de Cauchy :
* La variable T à 1 degré de liberté (voir "La distribution t").
* Le rapport de deux variables normales standard indépendantes (voir animation).
La distribution de Cauchy a une forme en cloche symétrique, comme la distribution normale. Elle semble donc inoffensive, mais ce n'est pas le cas.
La distribution de Cauchy est l'exemple le plus classique de distribution n'ayant pas de moyenne (ni a fortiori de variance et de moments d'ordre supérieur) comme nous le montrons ici.
En conséquence :
* La Loi des Grands Nombres ne s'applique pas à la distribution de Cauchy. De fait, on montre que quelle que soit la taille de l'échantillon, la moyenne empirique suit toujours la même distribution, qui est donc la distribution de Cauchy originale (échantillon de taille 1). On n'observe donc pas le phénomène de "rétrécissement" de la distribution de la moyenne empirique quand la taille de l'échantillon augmente.
Ce comportement pathologique est en contraste violent avec celui des distributions usuelles. Imaginez un chercheur qui souhaite localiser la position en x de la source en mesurant les abscisses sur la droite D d'un certain nombre d'impacts de particules. Il envisage d'utiliser la moyenne de ces valeurs comme estimation de la position de la source.
Le résultat précédent nous dit que l'incertitude sur la position de la source est la même, que l'on mesure un seul impact ou qu'on en mesure un million.
* De même, Théorème Central Limite ne s'applique pas à la distribution de Cauchy, car il exige, entre autres, que la distribution ait ses moments des deux premiers ordres finis.
La densité de probabilité de la distribution de Cauchy translatée de la quantité a est :
où a est un paramètre de position.
Nous décrivons ici le comportement surprenant de la Meilleure Région Critique du test opposant :
* L'hypothèse nulle H0 : a = 0
* A l'hypothèse alternative H1 : a = a1.
_________________________________________________________
|
Tutoriel |
Ce Tutoriel justifie trois façons différentes de définir la distribution de Cauchy. Il reprend pour l'essentiel des résultats mathématiques développés à l'occasion de l'étude sur les transformations de variables aléatoires, vers lesquels il dirige le lecteur pour le détail des calculs.
Il est également rappelé que la distribution de la moyenne empirique de la distribution de Cauchy est identique à la distribution "mère".
PROPRIETES DE LA DISTRIBUTION DE CAUCHY
|
Distribution de Cauchy comme distribution de tg(q) Rappel sur les transformations de variables Application à la distribution de Cauchy Distribution de Cauchy comme rapport de deux v.a. normales standard indépendantes Rappel sur la distribution du rapport de deux v.a. Application à la distribution de Cauchy L'inverse d'une variable de Cauchy est également une variable de Cauchy Rappel sur la distribution de l'inverse d'une v.a. Application à la distribution de Cauchy Distribution de la moyenne empirique de la distribution de Cauchy Rappel sur la distribution de la somme de deux v.a. Application à la distribution de Cauchy |
||
|
TUTORIEL |
|
|
|
|
|
|
|
* Distribution normale de référence. |
||
_______________________________________________________________________
Voir aussi:
|
|
|
|
Téléchargez ce Glossaire |
|
|
|
|
|
