|
|
|
|
|
|
|
Animation interactive |
|
Cauchy (Distribution de)
Aussi connue sous le nom de "Distribution de Lorentz".
Soit une source isotrope de particules émettant dans le plan, et D une droite du plan à distance unité de la source. Alors la position des impacts des particules sur D est une variable aléatoire qui suit, par définition, une distribution de Cauchy.
Autrement dit, si θ est distribué uniformément entre -π/2 et + π/2 , alors tg(θ) est distribuée selon la distribution de Cauchy.
(Voir aussi animation ci-dessous).
Nous montrerons que la densité de probabilité de la distribution de Cauchy est :
|
|
Deux autres variables aléatoires classiques suivent également des distributions de Cauchy :
* La variable T à 1 degré de liberté (voir "La distribution t").
* Le rapport de deux variables normales standard indépendantes (voir animation).
L'animation interactive suivante illustre la distribution de Cauchy.
|
Le "Livre des Animations" sur votre ordinateur |
|
|
Cadre supérieur 1) Le cadre supérieur montre
la source S, des trajectoires de particules, et leurs impacts sur la Droite
D (échantillon). Les angles d'émission des particules par rapport à la verticale sont
tirés d'une distribution uniforme entre - π/2 et
+ π/2 . La moyenne empirique est matérialisée par un trait vertical bleu. Il est possible que certains impacts se situent hors du cadre, et donc que les trajectoires correspondantes soient incomplètes. Il est même possible que la moyenne empirique se situe en dehors du cadre (et elle n'est alors pas affichée). Vous pouvez faire varier le nombre de "particules" avec les boutons sous "Nb Points".
2) Vous pouvez également illustrer l'autre définition de la distribution de Cauchy (rapport de deux variables normales standard indépendantes) en cliquant sur le bouton "Ratio of Normals". Plutôt que de représenter deux distributions normales, chacune générant un point à chaque itération, nous utilisons une seule distribution avec laquelle nous tirons deux observations indépendantes (traits verticaux rouge et bleu). La variable suivant la distribution de Cauchy est le rapport x1/x2 des abscisses des traits rouge et bleu.
Cadre inférieur Le cadre inférieur montre: * La distribution de Cauchy (rouge), * Une gaussienne standard (noir) qui n'a pas de rôle fonctionnel, et est montrée simplement à titre de référence.
Observez la différence entre "Cauchy" et "Gaussienne". Bien que ces deux courbes se ressemblent (courbes en cloche symétriques), elles sont fondamentalement différentes: * La gaussienne décroit très vite lorsqu'on s'écarte de la région centrale, * Alors que la distribution de Cauchy décroit extrêmement lentement : elle a des "ailes" très importantes. En termes informels, cette décroissante est la plus lente qui soit encore compatible avec une aire finie sous la courbe. En termes encore plus informels, la courbe de Cauchy réussit à être une distribution de probabilité, mais d'extrême justesse.
En raison de la lenteur de cette décroissance, la distribution de Cauchy n'a pas de moyenne (ni a fortiori de variance et de moments d'ordre supérieur).
La conséquence la plus frappante de cette absence de moyenne est que nous ne sommes plus dans les conditions de validité du Théorème Central Limite. Il n'est plus garanti que la distribution de la moyenne empirique tende vers une distribution normale pour des échantillons de plus en plus grands, ni que sa variance (à supposer qu'elle existe) tende alors vers 0. En fait, malgré la symétrie de la distribution de Cauchy, la moyenne empirique n'est pas un "estimateur correct" de la médiane de la distribution.
L'objectif premier de cette animation est d'illustrer expérimentalement cette question. 1) Dans l'option "Tangent" (option par défaut), choisissez "1" pour le nombre de points, et cliquez sur "Go". Observez la construction progressive de l'histogramme de la distribution de Cauchy. 2) Après avoir cliqué sur "Reset", choisissez maintenant un nombre de points quelconque. Observez que l'affichage de la distribution de Cauchy n'est pas modifié quand vous changez le nombre de points. Après avoir cliqué sur "Go", l'animation va construire la distribution de la moyenne empirique pour le nombre de points que vous avez choisi. Vous serez rapidement convaincu que cette distribution ne dépend pas du nombre de points. En fait, elle est toujours identique à la distribution de Cauchy originale (voir ici). Donc non seulement la distribution de la moyenne empirique ne devient pas gaussienne pour les grands échantillons, mais elle n'a ni moyenne ni variance. Toute mesure raisonnable de la "dispersion" de cette distribution (comme par exemple la largeur à mi-hauteur) reste toujours la même quelle que soit la taille de l'échantillon. Il existe des distributions aux comportements encore plus extrêmes que celui de la distribution de Cauchy, et pour lesquelles la "dispersion" (on ne peut pas parler de variance) de la distribution de la moyenne empirique augmente avec la taille de l'échantillon. ________
Pour l'option "Ratio of Normals", il n'y a pas de paramètre de réglage. Cliquez sur "Go", et observez la construction de la distribution du rapport de deux variables normales standard indépendantes. Pour une démonstration, voir ici. |
La distribution de Cauchy a une forme en cloche symétrique, comme la distribution normale. Elle semble donc inoffensive, mais ce n'est pas le cas.
La distribution de Cauchy est l'exemple le plus classique de distribution n'ayant pas de moyenne (ni a fortiori de variance et de moments d'ordre supérieur) comme nous le montrons ici.
En conséquence :
* La Loi des Grands Nombres ne s'applique pas à la distribution de Cauchy. De fait, on montre que quelle que soit la taille de l'échantillon, la moyenne empirique suit toujours la même distribution, qui est donc la distribution de Cauchy originale (échantillon de taille 1). On n'observe donc pas le phénomène de "rétrécissement" de la distribution de la moyenne empirique quand la taille de l'échantillon augmente.
Ce comportement pathologique est en contraste violent avec celui des distributions usuelles. Imaginez un chercheur qui souhaite localiser la position en x de la source en mesurant les abscisses sur la droite D d'un certain nombre d'impacts de particules. Il envisage d'utiliser la moyenne de ces valeurs comme estimation de la position de la source.
Le résultat précédent nous dit que l'incertitude sur la position de la source est la même, que l'on mesure un seul impact ou qu'on en mesure un million.
* De même, Théorème Central Limite ne s'applique pas à la distribution de Cauchy, car il exige, entre autres, que la distribution ait ses moments des deux premiers ordres finis.
La densité de probabilité de la distribution de Cauchy translatée de la quantité a est :
où a est un paramètre de position.
Nous décrivons ici le comportement surprenant de la Meilleure Région Critique du test opposant :
* L'hypothèse nulle H0 : a = 0
* A l'hypothèse alternative H1 : a = a1.
___________________________________________________________________
|
Tutoriel |
Ce Tutoriel justifie trois façons différentes de définir la distribution de Cauchy. Il reprend pour l'essentiel des résultats mathématiques développés à l'occasion de l'étude sur les transformations de variables aléatoires, vers lesquels il dirige le lecteur pour le détail des calculs.
Il est également rappelé que la distribution de la moyenne empirique de la distribution de Cauchy est identique à la distribution "mère".
PROPRIETES DE LA DISTRIBUTION DE CAUCHY
|
Distribution de Cauchy comme distribution de tg(θ) Rappel sur les transformations de variables Application à la distribution de Cauchy Distribution de Cauchy comme rapport de deux v.a. normales standard indépendantes Rappel sur la distribution du rapport de deux v.a. Application à la distribution de Cauchy L'inverse d'une variable de Cauchy est également une variable de Cauchy Rappel sur la distribution de l'inverse d'une v.a. Application à la distribution de Cauchy Distribution de la moyenne empirique de la distribution de Cauchy Rappel sur la distribution de la somme de deux v.a. Application à la distribution de Cauchy |
||
|
TUTORIEL |
|
|
_______________________________________________________________________
Voir aussi:
|
|
|
|
Téléchargez ce Glossaire |
|
|
|
|
|
