Cauchy-Schwarz  (Inégalité de)

L'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les variables aléatoires

Le coefficient de corrélation de deux variables aléatoires X et Y est compris entre -1 et +1. Ce résultat est une conséquence de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, qui énonce que :

Lorsque l'égalité a lieu, nous montrerons que les deux variables X et Y sont alors liées par une relation linéaire : il existe alors deux nombres a et b tels que :

Y = aX + b

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L'inégalité de Cauchy-Schwarz se retrouve dans de nombreux contextes en Statistique. Par exemple, elle est un élément clé de l'établissement de l'inégalité de Cramér-Rao.

Etendue de l'inégalité de Cauchy-Schwarz

En fait, l'inégalité de Cauchy-Schwarz dépasse largement le cadre de la Statistique. Elle est  une conséquence directe de la définition du produit scalaire dans les espace vectoriels, et a donc une place de choix dans beaucoup de domaines des Mathématiques.

Elle reçoit une interprétation très simple dans le cadre de la Géométrie élémentaire. L'illustration ci-dessous montre deux vecteurs V₁ et V₂.

L'inégalité de Cauchy-Schwarz dit alors que le carré du produit scalaire V₁.V₂ est plus petit que le produit des carrés des longueurs de V₁ et de V₂.

Mais :

V₁.V₂  =  | V₁ |.| V₂ |.cosa

 et l'inégalité de Cauchy-Schwarz dit donc que :

-1 cosa  +1

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Dans ce court Tutoriel, nous démontrons deux versions particulières de l'inégalité de Cauchy-Schwarz :

    * La première relative aux variables aléatoires (donnée ci-dessus).

    * La seconde relative aux fonctions intégrables et de carrés intégrables.

INEGALITE DE CAUCHY-SCHWARZ

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Voir aussi: