|
|
|
|
|
|
Cholesky (Factorisation de)
Nous savons qu'une matrice définie positive a une unique racine carrée F telle que :
F ² = FF' = A
Si nous supprimons la contrainte portant sur la symétrie, il existe un vaste ensemble de matrices G telles que :
GG' = A
et qui peuvent également être interprétées comme des "racines carrées" de A. On dit alors que A est "factorisée" dans le carré de ses racines carrées.
-----
Une de ces factorisations présente un grand intérêt, aussi bien théorique que pratique : la factorisation de Cholesky (ou "décomposition de Cholesky"), qui s'énonce ainsi :
|
* Soit A une matrice définie positive. * Il existe une unique matrice triangulaire inférieure L à élements diagonaux positifs telle que : A = LL' |
Si A n'est que semi-définie positive, alors les éléments diagonaux de L ne sont que non négatifs.
La factorisation de Cholesky peut se représenter schématiquement par :
-----
La factorisation de Cholesky est la méthode de choix pour le calcul numérique :
* De l'inverse,
* et du déterminant
d'une matrice définie positive (en particulier, d'une matrice de covariance), ainsi que pour la simulation d'une variable normale multivariée.
__________________________________________________________
|
Tutoriel |
Dans ce Tutoriel, nous commençons par identifier un ensemble de racines carrées non symétriques d'une matrice définie positive.
-----
Nous décrivons ensuite deux méthodes différentes permettant d'établir l'existence de la factorisation (unique) de Cholesky :
* La première est dans l'esprit de l'Algèbre Linéaire, et démontre l'existence de la factorisation de Cholesky par un raisonnement récursif :
- On suppose que cette factorisation existe et est unique pour des matrices définies positives d'ordre (n - 1).
- Puis on montre que ceci entraine qu'il en est de même pour les matrices définies positives d'ordre n.
* La seconde méthode fait appel à des raisonnement plus simples, et construit itérativement la matrice L colonne après colonne, et, dans chaque colonne, calcule les éléments l'un après l'autre.
Les deux démonstrations sont constructives, et conduisent à des algorithmes numériques.
FACTORISATION DE CHOLESKY
|
Une famille de racines carrées non symétriques d'une matrice définie positive Factorisation de Cholesky récursive Factorisation de Cholesky itérative |
||
|
TUTORIEL |
|
|
____________________________________________________________
Voir aussi:
|
|
|
|
Téléchargez ce Glossaire |
|
|
|
|
|
