Convolution

Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes, discrètes ou continues. Quelle la distribution de probabilité de

Z = X + Y  ?

Notons :

    * f_X (.) la distribution de X, et

    * f_Y (.) la distribution de Y.

Certainement, la distribution de probabilité de Z (que nous notons f_Z (.)) doit être une combinaison de f_X (.) et de f_Y (.).

Cette combinaison s'appelle le produit de convolution de f_X (.) et de f_Y (.), et se note "_*" :

f_Z (.) = f_{X + Y} (.) = f_X (.)_* f_Y (.)

Variables continues

Nous avons déjà montré ici que la convolution de deux distributions continues a la forme :

un résultat que nous obtiendrons par une autre méthode dans le Tutoriel ci-dessous.

Cette expression peut s'interpréter graphiquement de la façon suivante :

* Pour calculer f_{X + Y} (z), conserver f_X (.)  tel quel. Puis :

    1) Renverser f_Y (.) autour de l'axe vertical (en raison du signe "-").

    2) Translater cette courbe renversée de la quantité "z".

    3) Multiplier cette courbe translatée par f_X (.). Le résultat est la courbe rouge de l'illustration ci-dessus.

    4) Intégrer ce produit de -∞ à ∞.

La valeur de f_{X + Y} (z) est égale à l'aire de la surface rouge.

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Nous illustrerons le produit de convolution de deux distributions continues en calculant le produit de convolution de deux distributions normales, de deux distributions de Cauchy et de deux distributions Gamma.

Variables entières non négatives

Dans le cas discret, le concept de convolution est particulièrement utile dans le cas de variables entières non négatives, c'est à dire de variables représentant un décompte.

Nous montrerons qu'alors :

qui est formellement semblable à l'expression de la convolution pour les variables continues.

L'interprétation de cette expression est maintenant :

    * Pour calculer la valeur de  f_{X + Y} (n) :

        1) Multiplier chacun des (n + 1) premiers termes de f_X (.) par le terme "croisé" correspondant de f_Y (.) comme dans l'illusration ci-dessous.

        2) Additionner ces (n + 1) produits.

Le résultat est f_{X + Y} (n).

Bien que calculer le produit de convolution des distributions de deux variables entières non négatives indépendantes soit la méthode la plus directe pour obtenir la distribution de leur somme, ce n'est en général pas la méthode la plus simple. Nous verrons que le recours aux propriétés de la fonction génératrice conduit souvent à des calculs plus courts et plus simples.

Propriétés algébriques du produit de convolution

Le produit de convolution est un opérateur que l'on retrouve dans de nombreux domaines de la Physique et des Mathématiques. En Théorie des probabilités, se propriétés les plus importantes sont les suivantes.

L'ensemble des distributions de probabilité est fermé par convolution

La somme de deux v.a. étant une v.a., le produit de convolution de deux distributions de probabilité est une distribution de probabilité. L'ensemble des distributions de probabilité est donc fermé par convolution.

Commutativité

Soient f_X (.) et f_T (.) deux distributions de probabilité. Alors :

f_X (.)_* f_Y (.) = f_Y (.)_* f_X (.)

En examinant les démonstrations établissant les deux expressions donnant les produits de convolution de deux distributions de probabilité, le lecteur se convaincra aisément que les rôles de f_X (.) et de f_Y (.) peuvent être échangés dans que le résultat soit modifié.

Ceci est une autre façon de dire que les distributions de (X + Y) et de (Y + X) sont identiques (en fait, ces deux variables sont même identiques).

Associativité

Soient X, Y, et Z trois v.a.. La distribution de X + (Y + Z) est identique à celle de (X + Y) + Z. Donc :

f_X (.)_*[ f_Y (.)_*f_Z (.)] = [f_X (.)_* f_Y (.)]_*f_Z (.)

un résultat que l'on peut démontrer directement sans faire référence à des variables aléatoires.

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Dans ce Tutoriel, nous commençons par établir les deux expressions du produit de convolution pour les variables entières non négatives ainsi que pour les variables continues.

Nous utilisons alors ces résultats pour démontrer la propriété d'additivité des distributions binomiale, géométrique, binomiale négative et Poisson. La distribution géométrique est un cas particulier de la distribution binomiale négative, mais nous montrerons directement que la somme de deux v.a. géométriques iid est négative binomiale.

Des exemples de convolution de distributions continues sont données dans le Tutoriel suivant.

CONVOLUTION

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Dans ce Tutoriel,  nous illustrerons le cas continu en calculant les produits de convolution :

    * De deux distributions normales,

    * De deux distributions de Cauchy.

    * De deux distributions Gamma.

des tâches un peu plus délicates qu'il y paraît.

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Nous retrouverons ainsi :

    * Que la somme de deux variables normales indépendantes est également normale, et de variance égale à la somme des variances des deux variables (Nous avions déjà obtenu ce résultat par les propriétés de la fonction génératrice des moments).

    * Que la distribution de la moyenne empirique de la distribution de Cauchy est identique à la distribution mère quelle que soit la taille de l'échantillon.

    * Que la distribution Gamma possède la propriété d'additivité pour des distributions de même paramètre de dispersion β. Dans le cas particulier où le paramètre de forme α est un entier, nous en déduirons que la somme de variables exponentielles iid suit une distribution Gamma (nous établissons également ce résultat ici en faisant appel aux propriétés de la fonction génératrice des moments).

CONVOLUTION DE DISTRIBUTIONS CONTINUES

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Voir aussi :