Estimation (par intervalle)
Si vous n'êtes pas familarisé avec la notion d'estimation, nous vous suggérons de lire dans un premier temps l'entrée relative à l'estimation ponctuelle.
Etant donné un n-échantillon issu d'une distribution, un estimateur "ponctuel" du paramètre q produit un nombre q*, l'estimation de la valeur du paramètre q de la distribution.
Si cet estimateur possède les propriétés attendues d'un bon estimateur, l'estimation q* est notre meilleur pari sur la valeur vraie q0 du paramètre q. Cependant, q* n'est qu'un nombre "nu", sans aucune information sur sa proximité de la vraie valeur q0. Tout ce que nous savons est que, en termes vagues, q* n'est probablement pas très éloigné de q0 , mais cette intuition n'est supportée par aucune information numérique sur les termes "probablement " et "éloigné".
Nous voudrions donc une procédure qui nous permette de savoir, en termes probabilistes, quelle est la distance de q* à q0. C'est l'objectif que se fixe l'estimation par intervalle. Plus précisément, étant donné un échantillon, nous voulons identifier un segment :
"La probabilité pour que ce segment recouvre la vraie valeur q0 est connue, et est égale à P."
Cette phrase mérite quelques explications. Supposons que nous sachions construire un tel segment. Nous tirons alors un grand nombre de n-échantillons. Pour chaque échantillon, un nouveau segment est construit par notre procédure. Alors, dans 100.P% des cas, ce segment couvrira q0.
Pour un échantillon donné, nous aurons donc identifié une région limitée qui couvre q0 avec la probabilité P. Si P est grand (disons, 0,95), nous avons identifié une région qui recouvre presque certainement q0.
Remarquez que nous avons résisté à la tentation de dire
"La probabilité pour que q0 soit
dans l'intervalle est P". En effet, q0 est
inconnu, mais n'est pas une variable aléatoire.
A première vue, la situation semble sans espoir, car le segment doit être le plus souvent proche de q0, mais nous ne savons pas où est q0 (si nous le savions, la notion même d'estimation, ponctuelle ou par intervalle, serait sans fondement). Plus précisément, si on note G et D les extrémités du segment, il est clair que la probabilité pour que le segment recouvre q0 :
Pr{G
q0
D} = P
dépend de q0, qui est inconnu. Dit d'une autre façon, si l'on veut que cette probabilité ne dépende pas de q0 , alors G et D doivent en dépendre, et la situation reste bloquée.
Cependant, il est parfois possible de contourner cette
impossibilité apparente grâce à la notion de pivot, que nous décrivons
dans la page suivante ![]()
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Avertissement : les Tutoriels décrits
ci-dessous sont les mêmes que ceux décrits à la page "Intervalle
de confiance".
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Tutoriel 1 |
Le Tutoriel suivant décrit les méthodes mises
en œuvre dans le calcul d'intervalles de confiance exacts pour les moyennes
de distributions normales. Nous abordons une seule fois la question de la taille
minimale de l'échantillon pour atteindre un niveau de confiance donné pour une
longueur donnée de l'intervalle de confiance. Cette question se retrouve à
l'identique dans tous les problèmes d'intervalle de confiance.
INTERVALLES DE CONFIANCES EXACTS
POUR LES MOYENNES DE DISTRIBUTIONS NORMALES
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Intervalle de confiance sur une moyenne Variance connue L'intervalle Taille minimale de l'échantillon Variance inconnue Différence entre une moyenne et une valeur de référence Comparaison de deux moyennes Echantillons appariés Echantillons indépendants Variances connues Variances inconnues mais égales Variances inconnues et inégales : un échec |
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TUTORIEL |
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Tutoriel 2 |
Dans le cas le plus général (variances inconnues et inégales), on ne connait pas d'intervalle de confiance exact pour la différence des moyennes de deux distributions normales indépendantes. Mais il est possible de calculer deux types d'intervalles approximatifs :
INTERVALLE DE CONFIANCE ASYMPTOTIQUE
ET APPROXIMATION DE WELCH
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Intervalle de confiance asymptotique (sans démonstration) Approximation de Welch |
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TUTORIEL |
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La brièveté de cette table des matières est doublement trompeuse :
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Voir aussi :