Estimation  (par intervalle)

Estimation ponctuelle

Si vous n'êtes pas familarisé avec la notion d'estimation, nous vous suggérons de lire dans un premier temps l'entrée relative à l'estimation ponctuelle.

Estimation par intervalle

Etant donné un n-échantillon issu d'une distribution, un estimateur "ponctuel" du paramètre q produit un nombre q_*, l'estimation de la valeur du paramètre q de la distribution.

Si cet estimateur possède les propriétés attendues d'un bon estimateur, l'estimation q_* est notre meilleur pari sur la valeur vraie q₀ du paramètre q. Cependant, q_* n'est qu'un nombre "nu", sans aucune information sur sa proximité de la vraie valeur q₀. Tout ce que nous savons est que, en termes vagues, q_* n'est probablement pas très éloigné de q₀ , mais cette intuition n'est supportée par aucune information numérique sur les termes "probablement " et "éloigné".     

Nous voudrions donc une procédure qui nous permette de savoir, en termes probabilistes, quelle est la distance de q_*  à q₀. C'est l'objectif que se fixe l'estimation par intervalle. Plus précisément, étant donné un échantillon, nous voulons identifier un segment :

• dont les extrémités soient déterminées uniquement par l'échantillon (et qui soient donc des v.a., et plus précisément, des statistiques),
• et tel que l'on puisse affirmer :

"La probabilité pour que ce segment recouvre la vraie valeur q₀ est connue, et est égale à P."

Cette phrase mérite quelques explications. Supposons que nous sachions construire un tel segment. Nous tirons alors un grand nombre de n-échantillons. Pour chaque échantillon, un nouveau segment est construit par notre procédure. Alors, dans 100.P% des cas, ce segment couvrira q₀.

Pour un échantillon donné, nous aurons donc identifié une région limitée qui couvre q₀ avec la probabilité P. Si P est grand (disons, 0,95), nous avons identifié une région qui recouvre presque certainement q₀.

Remarquez que nous avons résisté à la tentation de dire "La probabilité pour que q₀ soit dans l'intervalle est P". En effet, q₀ est inconnu, mais n'est pas une variable aléatoire.

A première vue, la situation semble sans espoir, car le segment doit être le plus souvent proche de q₀, mais nous ne savons pas où est q₀ (si nous le savions, la notion même d'estimation, ponctuelle ou par intervalle, serait sans fondement). Plus précisément, si on note G et D les extrémités du segment, il est clair que la probabilité pour que le segment recouvre q₀ :       

Pr{G  q₀ D} = P

dépend de q₀, qui est inconnu. Dit d'une autre façon, si l'on veut que cette probabilité ne dépende pas de q₀ , alors G et D doivent en dépendre, et la situation reste bloquée.

Cependant, il est parfois possible de contourner cette impossibilité apparente grâce à la notion de pivot, que nous décrivons dans la page suivante

____________________________________________________________

Avertissement : les Tutoriels décrits ci-dessous sont les mêmes que ceux décrits à la page "Intervalle de confiance".

Le Tutoriel suivant décrit les méthodes mises en œuvre dans le calcul d'intervalles de confiance exacts pour les moyennes de distributions normales. Nous abordons une seule fois la question de la taille minimale de l'échantillon pour atteindre un niveau de confiance donné pour une longueur donnée de l'intervalle de confiance. Cette question se retrouve à l'identique dans tous les problèmes d'intervalle de confiance.
 

INTERVALLES DE CONFIANCES EXACTS

POUR LES MOYENNES DE DISTRIBUTIONS NORMALES

 __________________________________________________________

Dans le cas le plus général (variances inconnues et inégales), on ne connait pas d'intervalle de confiance exact pour la différence des moyennes de deux distributions normales indépendantes. Mais il est possible de calculer deux types d'intervalles approximatifs :

• Un intervalle asymptotique, qui tend vers l'exactitude pour de grands échantillons.
• Un intervalle approximatif basé sur "l'approximation de Welch", et qui donne de bons résultats même pour des échantillons de taille modeste.
   

INTERVALLE DE CONFIANCE ASYMPTOTIQUE

ET APPROXIMATION DE WELCH

La brièveté de cette table des matières est doublement trompeuse :

• L'intervalle asymptotique est simple, mais la démonstration de sa validité est longue et difficile, et n'est pas donnée dans ce tutoriel.
• L'approximation de Welch est simple, mais donne lieu à des calculs un peu longs (et instructifs), que nous donnons in extenso

________________________________________________________

Voir aussi :