Fisher  (Théorème de)

Dans l'étude des distributions de probabilité impliquant des distributions , il arrive fréquemment de rencontrer le type de situation suivant:

    * On manipule n variables normales Xi ~N(0, 1) indépendantes,

    * Et les calculs mettent en jeu une forme quadratique dans les Xi ayant la forme particulière suivante:

Q(X1, X2 , ..., Xn) = (iXi ²)  - Y1² - Y2² -...- Yp²        p < n  

où les Yi sont des formes linéaires orthogonales des Xi:

Yi = j cij.Xj

les conditions d'orthogonalité étant:

k cik cjk = 1       si     i = j

k cik cjk = 0       si     i  j

 

  

Le Théorème de Fisher affirme alors que:

 

    1) Q(X1, X2 , ..., Xn) est indépendante des  Yi,  i = 1, ..., p   et

    2) Q(X1, X2 , ..., Xn) est distribuée comme n - p

 

 

En termes intuitifs, la deuxième partie du Théorème de Fisher est une conséquence du fait que la forme quadratique Q(X1, X2 , ..., Xn):

    * semble dépendre de n variables N(0, 1) (les Xi),

    * mais qu'en fait, elle ne dépend que de n - p variables N(0, 1), d'où la distribution en n - p .

Nous esquissons ici une démonstration du Théorème de Fisher.

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Ce résultat s'étend sans difficulté au cas de variables normales de variance quelconque ².

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Voici deux conséquences importantes du Théorème de Fisher:

 

1) Si X~N(µ,  ²), alors:

    * , la moyenne empirique, et

    * S² la variance empirique,

 

sont des variables indépendantes.

 

2) Soit X une variable aléatoire normale X~N(µ,  ²). Pour un échantillon de n observations et de moyenne , notons:

S² = 1/(n - 1).i(xi - )²

la variance estimée.

Alors la quantité (n - 1)S²/ ² est distribuée comme n - 1.

 

Nous utiliserons ces deux résultats dans la définition formelle de la distribution t de Student.

 

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Voir aussi:

Formes quadratiques

Théorème de Cochran

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