Forme normale d'une matrice

La Décomposition en Valeurs Singulière (ou "SVD") est probablement la méthode la plus puissante de mise en évidence des propriétés d'une matrice.

La forme normale d'une matrice est une autre décomposition utile, mais avec un objectif moins ambitieux que celui de SVD : la seule caractéristique de la matrice que l'on cherche alors à mettre en évidence est son rang (alors que SVD fournit sur la matrice beaucoup plus d'informations).

Mettre en évidence le rang d'une matrice

Soit A une matrice mxn quelconque de rang r.

Nous montrerons qu'il existe :

    * Deux matrices régulières B(mxm) et C(nxn),

    * Et une matrice "pseudo-identité" H(mxn) dont les éléments non diagonaux sont tous nuls, mais qui n'est pas carrée.

        - La partie supérieure de la diagonale (bande rouge de l'illustration ci-dessous) de H ne contient que des 1, et nous montrerons que leur nombre est r, le rang de la matrice A.

        - La partie inférieure de la diagonale (bande grise) contient (n - r) 0, tout comme le reste de H.

telles que :

Cette décomposition peut se représenter par :

Cette figure illustre le cas r < n < m, mais la décomposition est également valide pour m n, et pour r = inf(m, n) (c.à.d. quand A est de rang plein).

Malgré la similarité formelle avec SVD, la forme normale révèle moins d'information sur la matrice que SVD :

    * Seul le rang de la matrice A est mis en évidence par la forme normale.

    * Les matrices B et C ne sont pas uniques, et ne contiennent aucune information directement exploitable sur les propriétés de A.

Transformations élémentaires

Par contre, une forme normale est plus facile à calculer qu'une SVD. Nous montrerons que B et C peuvent être obtenues en n'ayant recours qu'à des transformations élémentaires qui se rangent en trois catégories :

avec un jeu de transformations similaires pour les colonnes.

Ces transformations peuvent se représenter par des matrices de transformations élémentaires qui :

    * Multiplient A à gauche pour les transformations de lignes,  et

    * Multiplient A à droite pour les transformations de colonnes.

Forme normale réduite

De même que SVD a une forme "pleine" et une forme "réduite", nous montrerons que la forme normale "pleine" décrite ci-dessus est équivalent à la forme réduite suivante :

    * Toute matrice A(mxn) de rang r peut être factorisée dans le produit de deux matrices F et G de rang plein, ce rang étant égal à r.

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    * F a m lignes et G a n colonnes, et leur produit est donc de dimension mxn.

    * F a r colonnes, et G a r lignes. Donc le rang de A se lit maintenant comme étant l' "épaisseur" de F ou de G.

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Dans ce Tutoriel, nous montrons comment toute matrice A peut être factorisée sous forme normale. H sera obtenue en transformant A par une succession de transformations élémentaires qui construiront progessivement les matrices B et C. La seule petite difficulté sera de montrer que le nombre de 1 dans la diagonale de H est égal à r, le rang de A.

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La forme réduite s'obtiendra simplement avec l'aide d'un résultat d'Algèbre Linéaire, que nous démontrons.

Nous donnons une autre démonstration de l'existence de la forme réduite au cours de la démonstration du Théorème de Cochran.

FORME NORMALE D'UNE MATRICE

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Voir aussi :