Gamma  (Distribution)

Aussi appelée "distribution de Erlang" dans la littérature anglo-saxone.

Définition de la distribution Gamma

La distribution Gamma est une distribution continue dont la fonction de densité de probabilité p(x) est :

    * p(x) = 0   pour  x < 0,

    * Et pour  x 0 :

où G(a ) est la fonction Gamma.

    * l  est un nombre réel positif quelconque.

    * a est habituellement un entier (a  = 1, 2, ....).

Il s'agit donc en fait d'une famille de distributions indexée par les deux paramètres a et l. Une distribution Gamma sera notée G(a, l).
 

Cette définition peut paraître passablement arbitraire, mais en fait G(n, l), avec n entier, apparaît naturellement comme étant la distribution de la somme de n v.a. exponentielles indépendantes et identiquement distribuées de paramètres l (voir Tutoriel ci-dessous et l'animation interactive   ). La distribution exponentielle simple apparait alors comme une distribution Gamma pour la valeur particulière a = 1.

La distribution du Chi-2 à n degrés de liberté est également identique à la distribution Gamma pour les valeurs des paramètres a = n/2 et l = 1/2.

Propriétés élémentaires de la distribution Gamma

Les propriétés élémentaires de la distribution Gamma sont :

Moyenne

Variance

Ce résultat peut s'écrire :

Cette expression prendra tout sons sens lorsque nous considérerons la distribution Gamma comme membre de la famille exponentielle.

Fonction génératrice des moments

Additivité

Soient n v.a. Gamma indépendantes  X_i , i = 1, 2, ..., n , de paramètres  (a_i, l). Alors leur somme X :

X = _i X_i

a une distribution Gamma  G(a, l) avec :

a = S_i a_i

Statistique exhaustive

Nous identifions ici une statistique exhaustive pour le paramètre l de la distribution G(a, l).

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Ces résultats sont démontrés dans le Tutoriel suivant :

PROPRIETES ELEMENTAIRES DE LA DISTRIBUTION GAMMA

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