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Animation interactive |
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Gamma (Distribution)
Une importante distribution de probabilité d'une grande souplesse.
Définition de la fonction Gamma
On montre que l'intégrale
existe pour toute valeur positive de α. Elle définit une fonction de α connue sous le nom de fonction Gamma, et est notée Γ(α). La fonction Gamma joue un rôle important en physique et en mathématiques.
Nous montrerons qu'elle vérifie la relation de récurrence suivante :
(α - 1)Γ(α - 1) = Γ(α) |
Si α est un entier n, cette relation devient
et son usage répété conduit à
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Γ(n) = (n - 1)! |
La fonction Gamma peut ainsi être perçue comme la généralisation aux nombres réels positifs de la fonction factorielle.
Nous montrons ici que
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Les calculs impliquant la fonction Gamma conduisent souvent à des chaînes de récurrence se terminant par Γ(1/2) : cet humble résultat est donc absolument indispensable en pratique.
De la définition de la fonction Gamma, nous déduisons
Cette équation montre que l'intégrand peut être interprété comme une densité de probabilité dans laquelle α joue le rôle d'un paramètre "de forme".
On peut rendre cette distribution plus souple en introduisant un deuxième paramètre (positif) β comme suit. Supposons que la v.a. T suive la distribution Gamma "de base". Nous créons alors une nouvelle variable X définie par :
X = βT ou T = X / β
Quelle est la distribution de X ?
En se reportant au résultat relatif à la distribution d'une variable soumise à un changement d'échelle, on voit que la distribution de X est :
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qui est, par définition, la distribution Gamma "complète". La distribution Gamma sera notée Γ(α, β).
Le paramètre β est un paramètre "d'échelle", ou de "dispersion".
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Lorsque α est un entier, la distribution Gamma est parfois nommée "distribution d'Erlang" dans la littérature anglo-saxonne.
La définition de la distribution Gamma peut paraître quelque peu artificielle, mais en fait cette distribution apparaît spontanément dans plusieurs circonstances.
En faisant α = 1 dans la fonction de densité de probabilité Gamma, on obtient
f1, β (x) = 1/β .exp(-x/β) |
qui est la densité de probabilité de la distribution exponentielle de paramètre β (ou λ = 1/β selon la définition retenue).
La distribution exponentielle est donc une distribution Gamma particulière.
Nous montrerons que la somme de n v.a. exponentielles indépendantes de distribution commune Exp(β) a la distribution Γ(n, β).
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* Si toutes les Xi ~ Exp(β) i = 1, 2, ..., n * Les Xi indépendantes, alors Σi Xi ~ Γ(n, β) |
La f.d.p. de la distribution Gamma prend alors la forme particulière
C'est, par construction, la distribution de la date du nème évènement d'un processus de Poisson.
Ce résultat est illustré ici par une animation interactive.
Soit n un entier, et considérons la distribution Gamma de paramètres
* α = n / 2
* β = 2
La fdp de la distribution Gamma est maintenant
que nous reconnaissons comme étant la distribution du Chi-2 à n degrés de liberté.
La distribution du Chi-2 est donc une distribution Gamma particulière.
Cette animation illustre la distribution Gamma.
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Le "Livre des Animations" sur votre ordinateur |
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Faites glisser les curseurs, et observez les diverses formes que peut prendre la distribution Gamma.
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La distribution Gamma a trois régimes différents selon la valeur de α :
C'est le cas le plus fréquemment rencontré en pratique, et le plus souvent avec α entier. La courbe de la densité Gamma est alors en forme de cloche asymétrique.
Bien que la distribution Gamma ressemble à la distribution F, ces deux distributions sont en fait très différentes :
* La distribution Gamma a une décroissance exponentielle à l'infini,
* Alors que la distribution F ne décroit que comme une puissance de x.
La distribution Gamma est alors simplement une distribution exponentielle de paramètre β (voir ci-dessus). Elle atteint l'axe vertical en β -1 (ordonnée à l'origine).
L'axe vertical est maintenant une asymptote, et la distribution Gamma est monotone décroissante.
Nous établirons les résultats suivants :
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µ = αβ |
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σ² = αβ ² |
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Ce résultat peut s'écrire sous la forme :
L'importance de cette expression apparaîtra lorsque nous considérerons la distribution Gamma comme appartenant à la famille exponentielle naturelle.
En fait, la distribution Γ(α, β) a des moments de tous ordres. Nous montrerons que le moment d'ordre n est :
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Nous laissons au lecteur le soin de montrer que :
1) Pour α > 1, le mode de la distribution Gamma est :
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Mode = (α - 1)β |
Calculer sa hauteur.
2) Pour α = 1, la distribution Gamma est une exponentielle décroissante d'ordonnée à l'origine 1/β. Le mode est donc égal à 0.
Montrez que pour α > 1 et un β donné, la hauteur du mode tend vers 1/β quand α tend vers 1 par valeurs supérieures. En d'autres termes, la hauteur du mode est une fonction continue "à droite" de α en α = 1.
3) Pour α < 1, l'axe vertical est une asymptote, la distribution Gamma est monotone décroissante et n'a donc pas de mode.
La fonction génératrice des moments de la distribution Gamma est :
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Soient {Xi} n variables aléatoires indépendantes de distributions respectives Γ(αi, β) (même valeur de β). Alors leur somme :
X = Σi Xi
suit la distribution Gamma(α, β) avec :
α = Σi αi
La fonction de répartition de la distribution Gamma n'a pas de forme analytique simple sauf lorsque α est un entier n. Nous montrerons qu'alors :
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Nous aurons besoin de ce résultat :
* Pour établir la nature "Poisson" de la distribution du nombre d'évènements dans un intervalle de temps d'un processus de Poisson.
* Pour établir la distribution des records d'une distribution admettant une fonction de densité de probabilité.
De ce résultat nous déduirons qu'il existe entre la distribution Gamma et la distribution de Poisson une relation qui s'exprime ainsi :
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Soient * X ~ Γ(n, β) * Y ~ Poisson(x/β) Alors P{X ≤ x} = P{Y ≥ n} |
un résultat quelque peu inattendu mais qui reçoit ici une interprétation naturelle.
Soient :
* X ~ Γ(α, θ)
* Y ~ Γ(β, θ)
deux variables aléatoires Gamma indépendantes dont les distributions ont la même valeur θ pour le second paramètre.
Nous montrons ici que :
Nous identifions ici :
* Une statistique exhaustive pour le paramètre α de la distribution Γ(α, β) lorsque la valeur de β est connue,
* Une statistique exhaustive pour β quand la valeur de α est connue,
* Et une statistique vectorielle qui est exhaustive pour la paire (α, β) quand les valeurs de ces paramètres sont toutes deux inconnues.
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Nous montrons ici que ces statistiques sont en fait non seulement exhaustives, mais également exhaustives minimales.
Nous montrons ici que les records de la distribution exponentielle ont des distributions Gamma.
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Tutoriel |
Dans ce Tutoriel, nous établissons quelques propriétés élémentaires de la distribution Gamma.
* Tout calcul relatif à la distribution Gamma faisant appel à l'omniprésente relation de récurrence de la fonction Gamma, nous commençons donc par démonrer celle-ci.
* Nous montrerons ensuite qu'il existe une expression générale donnant la valeur des moments de tous ordres de la distribution Gamma. De cette relation, nous déduirons les valeurs :
* De la moyenne,
* Du moment du second ordre,
* Et de la variance
de la distribution Gamma.
* Nous calculerons ensuite la fonction génératrice de moments de la distribution Gamma. De cette fgm nous déduirons à nouveau les valeurs des moments du premier et du second ordre.
Mais au cours de ces calculs, nous remarquerons qu'il est possible d'établir une expression générale des dérivées de tous ordres de la fgm de la distribution Gamma. Nous calculerons cette expression puis, en utilisant les propriétés de la fgm, nous établirons à nouveau l'expression des moments de tous ordres de la distribution Gamma.
* Nous démontrerons ensuite l'importante propriété d'additivité de la distribution Gamma. Une conséquence immédiate de cette propriété sera le fait que la somme de variables exponentielles iid suit une distribution Gamma.
Cette démonstration fait appel aux propriétés de la fonction génératrice des moments, mais la propriété peut également être établie en calculant le produit de convolution de deux distributions Gamma.
* Nous calculons enfin la fonction de répartition de la distribution Gamma lorsque la paramètre α est un entier n. Nous en déduirons une relation un peu inattendue entre la distribution Gamma et la distribution de Poisson.
PROPRIETES ELEMENTAIRES DE LA DISTRIBUTION GAMMA
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Relation de récurrence de la fonction Gamma Moments de la distribution Gamma Moments de tous ordres Moyenne Moment du second ordre Variance Fonction génératrice des moments et moments Fonction génératrice des moments Moments Moment du premier ordre (Moyenne) Moment du second ordre Dérivées de tous ordres de la fgm Moments de tous ordres Additivité Somme de variables exponentielles iid Fonction de répartition de la distribution Gamma Fonction de répartition quand α est un entier Relation avec la distribution de Poisson |
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TUTORIEL |
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* Une distribution exponentielle ajustable. |
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