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Animation interactive |
Gamma (Distribution)
Aussi appelée "distribution de Erlang" dans la littérature anglo-saxone.
La distribution Gamma est une distribution continue dont la fonction de densité de probabilité p(x) est :
* p(x) = 0 pour x < 0,
* Et pour x
0
:
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où G(a ) est la fonction Gamma.
* l est un nombre réel positif quelconque.
* a est habituellement un entier (a = 1, 2, ....).
Il s'agit donc en fait d'une famille de distributions
indexée par les deux paramètres a
et l. Une distribution Gamma sera notée G(a, l).
Cette définition peut paraître passablement arbitraire, mais
en fait G(n, l),
avec
n entier, apparaît naturellement comme étant la distribution de
la somme de n v.a. exponentielles
indépendantes et identiquement distribuées de paramètres l
(voir Tutoriel ci-dessous et l'animation interactive
).
La distribution exponentielle simple apparait alors comme une distribution Gamma
pour la valeur particulière a = 1.
La distribution du Chi-2 à n degrés de liberté est également identique à la distribution Gamma pour les valeurs des paramètres a = n/2 et l = 1/2.
Les propriétés élémentaires de la distribution Gamma sont :
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Ce résultat peut s'écrire :

Cette expression prendra tout sons sens lorsque nous considérerons la distribution Gamma comme membre de la famille exponentielle.
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Soient n v.a. Gamma indépendantes Xi , i = 1, 2, ..., n , de paramètres (ai, l). Alors leur somme X :
X =
i
Xi
a une distribution Gamma G(a, l) avec :
a = Si ai
Nous identifions ici une statistique exhaustive pour le paramètre l de la distribution G(a, l).
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Tutoriel |
Ces résultats sont démontrés dans le Tutoriel suivant :
PROPRIETES ELEMENTAIRES DE LA DISTRIBUTION GAMMA
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Fonction génératrice des moments Cas général Cas particulier : a entier Moyenne µ Mode Variance s² Additivité |
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TUTORIEL |
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* Une distribution exponentielle ajustable. |
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