Génératrice  (Fonction)

Toute l'information relative à une variable aléatoire X est disponible dans sa densité de probabilité (variable continue) ou distribution de probabilité (variable discrète). A partir des définitions classiques, il devrait donc être toujours possible:

    * de calculer la moyenne, la variance ou des moments d'ordre supérieur de X à partir de sa d.p.,

    * de calculer la distribution, par exemple, de la somme de deux variables aléatoires indépendantes X et Y dont les distributions sont connues.

En pratique, il arrive souvent que l'utilisation directe de ces définitions conduise à des calculs inextricables. Un outil vient alors sauver la situation: la Fonction Génératrice (sous-entendu : "des moments"), ou simplement "génératrice".

Avant de décrire la fonction génératrice, il peut être utile de faire une courte digression. La difficulté que nous venons de mentionner n'est pas propre aux seules Probabilités. En fait, il n'est guère de discipline physique ou mathématique qui ne la rencontre tôt ou tard : une certaine quantité Q, liée à une fonction f, doit être calculée. Les équations sont disponibles, mais on ne leur trouve pas de solution analytique.

Une idée générale très puissante, existant sous de multiples formes, consiste alors à transformer la fonction originale f en une nouvelle fonction appropriée g, telle que des calculs relativement simples sur cette fonction transformée produisent les résultats recherchés.

On contourne donc ainsi l'obstacle éventuel du calcul direct au prix d'une transformation convenablement choisie de la fonction originale. Ce stratagème se traduit par l'illustration suivante :

L'image inférieure explicite le détour qui consiste à :

    * dans un premier temps, calculer la fonction transformée g,

    * puis dans un deuxième temps à effectuer les calculs appropriés sur g .

La fonction génératrice des moments est une transformée de la ddp (ou dp). Elle se définit en trois étapes :

    1) On introduit un paramètre, traditionnellement noté t.

    2) On crée la variable aléatoire e^tX,

    3) On calcule l'espérance de e^tX, soit E[e^tX]. Par exemple, si X est continue, on a :

où p(x) est la densité de probabilité de X.

L'intégrale portant sur x, la variable x ne figure plus dans le résultat, qui est donc une fonction de t seulement.

Cette fonction est, par définition, la Fonction Génératrice des Moments de la variable X (ou de sa ddp p(x)). Elle sera notée M_X (t), ou plus simplement M(t) s'il n'y a pas de risque de confusion.

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Nous énonçons ici des résultats importants relatifs à la fonction génératrice des moments :

Existence de la fonction génératrice des moments

Toutes les distributions n'ont pas de f.g.m.. Par exemple, la distribution de Cauchy n'a pas de f.g.m. (mais elles ont toutes la version en nombres complexes de la f.g.m., la fonction caractéristique, qui n'est pas abordée dans ce site).

Génération des moments

Si la v.a. X a une f.g.m., alors le moment d'ordre n de sa distribution est égal à la valeur de la dérivée d'ordre n de sa f.g.m. pour t = 0.

Bien sûr, c'est de cette propriété que la fonction génératrice des moments tire son nom.

Cette propriété est très utile en pratique : elle permet fréquemment de calculer les moments d'une v.a. plus facilement que par un calcul direct. C'est le cas de pratiquement toutes les distributions classiques évoquées sur ce site (à l'exception de la distribution uniforme).

Somme de v.a. indépendantes

Ce résultat est à la base du calcul des distributions de nombreuses v.a. définies, ou interprétables comme des sommes de variables iid :

    * Chi-2,

    * Binomiale négative,

ainsi, bien sûr, que pour l'importante question de la distribution de la moyenne empirique d'une distribution, par exemple normale.

Unicité

Ce résultat, très difficile à démontrer, est d'une grande utilité pratique. Nous nous en servons à de nombreuses reprises, par exemple :

    * Calcul de la distribution du Chi-2.

    * Propriété d'additivité des variables binomiales, Gamma, de Poisson...

    * Transformation linéaire d'une variable normale, combinaison linéaire de variables normales (voir ici).

    * Identification de la distribution d'une somme de variables exponentielles iid (voir ici).

    * Distribution de la somme d'une nombre aléatoire de variables exponentielles iid (voir ici).

    * etc...

Convergence de la fonction génératrice des moments

Soit {X_i} une suite de v.a. de fonctions génératrices des moments respectives M_i(t). Si la suite {M_i(t)} converge vers une limite M(t), et si cette limite est la f.g.m. d'une v.a. X, alors la suite {X_i} converge en loi vers X.

Ce résultat fondamental est très difficile, et ne sera pas démontré. Cependant, nous y ferons appel lorsque nous démontrerons le Théorème Central Limite.

Fonction génératrice des moments multivariée

Définition

La fonction génératrice des moments se généralise au cas multivarié. Sa définition est la même que dans le cas univarié :

M_X (t) = E[e ^t'X]

où :

    * X est un vecteur aléatoire,

    * et t est maintenant un paramètre vectoriel (mais la f.g.m. reste scalaire).

Moments croisés

Les propriétés de la f.g.m. univariée se transposent simplement au cas multivarié. En particulier, la f.g.m. multivariée permet de calculer les moments croisés d'une distribution multivariée. Soit X un vecteur aléatoire de dimension p, X = (X₁, X₂, ..., X_p). Un moment croisé de X est une quantité de la forme :

E[X₁^k1.X₂^k2....X_p^kp]

avec k₁ + ... + k_p = k.

On montre alors que, lorsque toutes les quantités impliquées existent, on a :

une expression similaire à celle du cas univarié.

Distributions marginales

En raison de sa nature multivariée, la f.g.m. multivariée a cependant certaines propriétés qui n'ont pas d'équivalent dans le domaine univarié. La plus importante d'entre-elles permet parfois de calculer simplement des distributions marginales.

Soit X un vecteur aléatoire partitionné selon X = (X₁, X₂ ). Le paramètre vectoriel est alors naturellement partitionné en t = (t₁, t₂ ). La f.g.m. de X s'écrit alors :

M_X (t) = M_X (t₁, t₂ ) = E[exp(t₁'X₁ + t₂'X₂ )]

Faisons t₂ = 0 dans cette expression. Nous obtenons :

M_X (t₁, 0) = E[exp(t₁'X₁ + 0)] = E[exp(t₁'X₁)] = M_X1(t₁)

qui est la f.g.m. de X₁.

La f.g.m. d'une distribution marginale s'obtient donc très simplement à partir de la f.g.m. d'une distribution multivariée en égalant à 0 les composantes appropriées du paramètre vectoriel t.

Nous utilisons cette propriété comme une des (nombreuses) façons de calculer les distributions marginales de la distribution normale multivariée.

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 Les propriétés énoncées ci-dessus sont détaillées et certaines démontrées dans le Tutoriel suivant :

PROPRIETES DE LA FONCTION GENERATRICE DES MOMENTS

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Voir aussi: