Géométrique  (Distribution)

Définition de la distribution géométrique

Vous jouez à pile-ou-face. Vous décidez de jouer jusqu'à ce qu'apparaisse "Pile" pour la première fois, et d'arrêter alors la "partie". Combien de fois devrez vous lancer la pièce?

Si, après une première partie, vous décidez d'en jouer une deuxième, vous vous attendez à ce que, probablement, le nombre de lancers que vous devrez effectuer pour "gagner" cette seconde partie soit différent du nombre de lancers dont vous avez eu besoin pour gagner la première. Le nombre L de lancers nécessaires pour gagner une partie est donc une variable aléatoire. La distribution de cette v.a. est, par définition, la distribution géométrique.

On peut tout de suite remarquer que la distribution de cette variable dépend certainement du biais de la pièce. Soit p la probabilité pour que la pièce retombe sur "Pile" (et q = 1 - p la probabilité pour que la pièce retombe sur "Face"). Pour une pièce non biaisée, p = q = 0,5. Mais si p = 0,9, on s'attend à ce que, en moyenne, les parties soient beaucoup plus courtes que pour une pièce non biaisée.

Vous trouverez ici une animation interactive illustrant la Distribution Géométrique.

Propriétés élémentaires de la distribution géométrique

Les propriétés élémentaires de la distribution géométrique sont les suivantes :

Distribution de probabilité P{L = n}

La probabilité P{L = n} pour qu'il faille lancer la pièce n fois avant d'obtenir le premier "Pile" est :
 

Fonction de répartition F(n)

Par définition, F(n) est la probabilité pour qu'il faille au plus n lancers pour obtenir le premier "Pile". On a :
 

Moyenne et variance

On a :

et

Notons que ce résultat peut s'écrire :

² = µ(µ - 1)

Cette expression prendra tout sons sens lorsque nous considérerons la distribution géométrique comme membre de la famille exponentielle.

Fonction génératrice des moments

La fonction génératrice des moments est :

La distribution géométrique est sans mémoire

Le concept de "processus sans mémoire" est exposé ici (dans le contexte de la distribution exponentielle). Cette propriété se traduit par la relation :

qui, dans le cas de la distribution géométrique, se traduit par :

• Si, après s lancers, vous n'avez toujours pas obtenu "Pile", alors la probabilité pour que "Pile" ne soit toujours pas apparu au (s + t)^ième lancer (donc, t lancers plus tard) est égale à la probabilité qu'avait "Pile" de ne pas apparaître dans les t premiers lancers au début de la partie.

Cette propriété caractéristique montre le lien étroit entre Distribution Géométrique et Distribution Exponentielle. Ce lien est visualisé dans l'animation interactive.

En fait, la Distribution Géométrique peut être perçue comme la version discrète de la Distribution Exponentielle. Ce lien peut être formalisé de la façon suivante : si on fait tendre vers 0 l'intervalle de temps entre deux tirages consécutifs, alors on montre que la fonction de répartition de la distribution géométrique tend vers la fonction de répartition d'une distribution exponentielle.

Nous calculons :
    * La moyenne (ici),
    * La fonction génératrice des moments (ici),
de la distribution géométrique par des méthodes qui ne font appel qu'à la propriété d'absence de mémoire et à la notion d'espérance conditionnelle.

Définition alternative de la distribution géométrique

La Distribution Géométrique est parfois présentée comme celle du  nombre de lancers précédant la première apparition de "Pile" (au lieu du nombre de lancers nécessaires pour obtenir "Pile" pour la première fois). Si L' désigne la variable répondant à cette définition, on a évidemment :

L' = L - 1

A titre d'exercice, on retrouvera les propriétés de base de la Distribution Géométrique :

    * Soit en les calculant directement,

    * Soit en en utilisant les résultats relatifs aux fonctions de variables aléatoires, L' étant une translatée de L (voir ici).

Extension de la distribution géométrique : la distribution binomiale négative

Au lieu d'arrêter le jeu à la première apparition de "Pile", on peut décider de continuer à jouer jusqu'à ce que "Pile" soit apparu exactement n fois (n 1). Le nombre de lancers nécessaire pour obtenir n fois "Pile" est une variable aléatoire qui suit, par définition, une loi dite "binomiale négative".

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Tous ces résultats sont démontrés dans le Tutoriel sur la Distribution Géométrique. Nous remarquerons à nouveau la grande efficacité de la Fonction Génératrice des Moments, qui nous permettra de retrouver la moyenne et la variance de la distribution géométrique plus simplement que par le calcul direct.

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Nous éclaircissons également le lien entre variables géométriques et exponentielles en montrant qu'une variable géométrique peut être considérée comme résultant de la discrétisation d'une variable exponentielle. Le lien inverse (variable exponentielle comme limite d'une suite de variables géométriques) est abordé ici.

DISTRIBUTION GEOMETRIQUE

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