Jacobien  (Déterminant)

L'étude des distributions continues fait un usage intensif des changements et transformations de variables aléatoires (voir ici). Un problème très général est alors le suivant :

    * Soient n v.a. {X₁, ..., X_n} de densité de probabilité conjointe f(x₁,..., x_n).

    * Soit par ailleurs T une transformation univoque (y₁,..., y_n) = T(x₁,..., x_n). Cette transformation définit n nouvelles variables aléatoires {Y₁, ..., Y_n}. Quelle est la densité de probabilité conjointe de {Y₁, ..., Y_n} ?

-----

La réponse est la suivante.

Soit T ^-1 la transformation inverse. T ^-1 est un ensemble de n fonctions j_i  :

    * x_i = j_i (y₁,..., y_n)

Alors :

g(y₁,..., y_n) = f( j₁(y₁,..., y_n), ..., j_n(y₁,..., y_n)).|det J|^-1

où :

La grandeur encadrée est appélée le "déterminant jacobien", ou simplement jacobien de la transformation T.

___________________________________________________

Dans ce Tutoriel, nous considérons le cas n = 2, et établissons l'expressionde g(y₁, y₂). Autrement dit, nous ne supposons pas connue la formule générale de g(y₁,..., y_n), mais nous allons la retrouver directement dans le cas où il n'y a que deux variables initiales X₁ et X₂, et introduirons ainsi naturellement la notion de jacobien.

Nous verrons que le jacobien reçoit une interprétation géométrique simple que nous renforcerons par deux illustrations.

Cette démonstration repose sur des résultats élémentaires de géométrie plane qu'il est difficile de généraliser en dimension supérieure. Néanmoins, l'interprétation géométrique du jacobien en 2D se généralise à un nombre quelconque de dimensions.

LE JACOBIEN EN DIMENSION 2

____________________________________________________________

Voir aussi: