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Lehmann-Scheffé (Théorème de)
Le théorème de Rao-Blackwell fournit une méthode d'amélioration (réduction de la variance) d'un estimateur sans biais θ* d'un paramètre θ lorsque l'on dispose d'une statistique exhaustive T pour ce paramètre. Cependant, le théorème ne dit rien sur la qualité du nouvel estimateur sans biais obtenu par "blackwellisation" de l'estimateur initial, et en particulier certainement pas qu'il est un Estimateur Sans Biais de Variance Minimale (ESBVM).
Il serait pourtant hautement souhaitable de pouvoir obtenir à coup sûr un ESBVM comme résultat de la blackwellisation d'un estimateur sans biais. Ceci est parfois possible : il suffit pour cela que la statistique utilisée pour la blackwellisation soit une statistique dite "complète".
Ce résultat fondamental porte le nom de Théorème de Lehmann-Scheffé. Il s'énonce de la façon suivante :
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Soient : * θ* un estimateur sans biais
quelconque du paramètre θ, alors Z = E[θ* | T] est l’unique Estimateur Sans Biais de Variance Minimale de θ parmi tous les estimateurs sans biais de θ.
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et est démontré dans le Tutoriel ci-dessous.
Le Théorème de Lehmann-Scheffé est donc une "super-blackwellisation" (images supérieure et inférieure de cette illustration) :
Le Théorème de Lehmann-Scheffé est donc l'aboutissement de la quête du meilleur estimateur sans biais d'un paramètre θ.
Cette quête avait commencé par l'identification du concept de statistique exhaustive, dont l'utilité pratique s'était traduite par le Théorème de Rao-Blackwell. Elle s'était poursuivie avec la notion de statistique exhaustive minimale, puis par celle de statistique complète, laquelle confère à la blackwellisation d'un estimateur sans biais par une statistique complète le statut d' "arme absolue".
Du Théorème de Lehmann-Scheffé, nous déduirons le corollaire suivant :
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Si un estimateur sans biais θ* est fonction d'une statistique exhaustive et complète, alors θ* est l'unique ESBVM de θ. |
Malgré son importance théorique, le Théorème de Lehmann-Scheffé est beaucoup moins utilisé que son corollaire pour la recherche d'un ESBVM. En effet, nous avons déjà remarqué que la blackwellisation conduit souvent à des calculs lourds, voire inextricables en raison de son recours aux espérances conditionnelles. Par contre, il est souvent facile de montrer qu'un estimateur sans biais "intuitif" est fonction d'une statistique complète (et est donc un ESBVM), comme nous en donnons des exemples ci-dessous.
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Le Théorème de Lehmann-Scheffé ne doit
pas être confondu avec la "Condition de Lehmann-Scheffé" (voir ici),
aussi parfois appelée "Théorème
de Lehmann-Scheffé pour
les statistiques exhaustives minimales".
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Tutoriel |
Dans ce Tutoriel, nous commençons par démontrer le Théorème de Lehmann-Scheffé, ainsi que de son Corollaire.
Celui-ci nous sert ensuite à identifier deux Estimateurs Sans Biais de Variance Minimale :
* Le premier, très simple, porte sur le paramètre p la distribution de Bernoulli b(p).
* Le second, plus complexe, porte sur le paramètre λ de la distribution Exp(λ). Nous découvrirons à cette occasion que la variance d'un Estimateur Sans Biais de Variance Minimale n'atteint pas nécessairement la borne de Cramér-Rao, autrement dit qu'un ESBVM n'est nécessairement efficace.
THEOREME DE LEHMANN-SCHEFFE
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Théorème de Lehmann-Scheffé Estimateur sans biais fonction d'une statistique complète Blackwellisation par une statistique exhaustive et complète Corollaire du Théorème de Lehmann-Scheffé Exemples Distribution de Bernoulli Distribution exponentielle L'estimateur "naturel" est biaisé Un estimateur sans biais L'estimateur est l'ESBVM L'ESBVM n'est pas efficace Variance de l'ESBVM Borne de Cramér-Rao L'ESBVM n'est pas efficace |
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TUTORIEL |
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Voir aussi :
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