Markov  (Inégalité de)

Pour toute variable aléatoire X, si a est un nombre réel, il est clair que la probabilité pour que X soit supérieure à a tend vers 0 quand a tend vers l'infini. Ceci est une conséquence du fait que l'intégrale de la distribution de a est finie (égale à 1), et donc que l'aire sous la courbe de densité à doite de a (distribution continue), ou la somme des probabilités pour les valeurs supérieures à a (distribution discrète), tend vers 0 quand a tend vers l'infini.

Considérons le cas particulier d'une v.a. qui ne peut prendre que des valeurs non négatives. Alors, la décroissance de la probabilité pour que X soit supérieure à a peut être quantifiée (plus précisément, bornée vers le haut) par une expression simple impliquant l'espérance de X. Cette borne supérieure est donnée par l'inégalité de Markov.

L'inégalité de Markov dit que, pour toute v.a. ne pouvant prendre que des valeurs non négatives, et pour tout nombre positif a :

où E[X] est l'espérance de X.

L'inégalité est bien sûr triviale pour a < E[X].

Nous démontrons ici l'inégalité de Markov.

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La restriction portant sur la non-négativité de X sera levée dans l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Le prix à payer sera que X devra alors avoir une variance.

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Voir aussi: