CALCUL DES COEFFICIENTS (PENTE ET ORDONNEE A L'ORIGINE)

DE LA DROITE DES MOINDRES CARRES PONDERES

L'équation de la Droite des Moindres Carrés Pondérés (DMCP) est :

y* = a + b.x

où "b" est la pente, et "a" l'ordonnée à l'origine.

Le résidu de l'observation i est :

y_i* - y_i  =  (a + b.x_i ) - y_i  

La DMCP minimise la Somme des Carrés des Résidus pondérés :

SSR_w = _i w_i.(y_i^* - y_i)² = _i w_i.(a + b.x_i - y_i)²

Les coefficients "a" et "b" sont obtenus en annulant les dérivées partielles de SSR_w par rapport à "a" et à "b" :

            *  SSR_w /a = 2.(a._i w_i + b._i w_i.x_i  - _i w_i.y_i ) = 0

            *  SSR_w /b = 2.(a._i w_i.x_i   + b._i w_i.x_i² - _i w_i.x_i.y_i ) = 0

Ce système de deux équations linéaires se résoud facilement :

Ces équations ne sont utiles que si la valeur de chaque poids w_i est connue individuellement, c'est à dire si la variance var(y_i) est connue en chaque point.

Remarques :

    1) Si tous les poids ont la même valeur (homoscedasticité), ces équations redonnent les équations normales de la Régression Linéaire Simple :

b = _i(x_i -  ).(y_i -  ) /_i(x_i -  )²

a = - b.

    2) Si les poids sont inversement proportionnels à x, ces équations se réduisent à :

 avec les notations suivantes :

    * I = _i (1/x_i) ,

    * J =  _i (y_i /x_i).

    * S_x = _i x_i 

    * S_y = _i y_i 

I et J ne sont pas définis si un x_i, disons x₀, est nul. Nous laissons en exercice le calcul des expressions de  "a" de"b" quand w₀ .