Newman-Keuls (Test de)

Rappels sur ANOVA

Soient {E₁, E₂, …, E_k } k échantillons issus de distributions normales indépendantes, de variances identiques, mais de moyennes possiblement différentes. ANOVA permet de tester l’hypothèse H₀ selon laquelle les moyennes {µ₁, µ₂ , ... , µ_k} de ces distributions sont identiques.

L’hypothèse nulle est donc H₀ : µ₁ = µ₂ = µ₃ = … = µ_k, contre
L’hypothèse alternative H₁ : au moins une des moyennes diffère des autres.

Dans le cas du rejet de H₀, on ne peut conclure que de la façon suivante : « Il existe au moins un groupe parmi les k dont la moyenne diffère significativement des autres au risque consenti près ». Là s’arrêtent les conclusions d’une ANOVA, celle-ci ne permettant pas de pousser plus loin l’analyse afin de préciser quel(s) groupe(s) ont une (des) moyenne(s) significativement différente(s) de celles des autres groupes.

C’est donc dans ce but de compléter ANOVA qu’ont été développées un grand nombre de procédures de comparaisons multiples, dits tests « a posteriori » ou « post-hoc ».

Le test de Newman-Keuls est l’une de ces procédures.

Le test de Newman-Keuls

Le test de Newman-Keuls est un test de comparaison de moyennes par paires, pratiqué à l’issue d’une ANOVA. Son intérêt principal est qu'il évite, par construction, les situations "paradoxales" où la moyenne d'un groupe G₁ pourrait être considérée comme significativement différente de celle d'une groupe G₂, alors qu'elle serait considérée comme non significativement différente de celle d'un groupe G₃, pourtant plus éloignée d'elle que celle de G₂.

De fait, ayant déterminé que les moyennes m_i et m_j des groupes G_i et G_j ne sont pas significativement différentes, il n'est pas nécessaire de tester par paires les moyennes comprises entre m_i et m_j (incluses), le test garantissant qu'elles seront, elles aussi, considérées comme non significativement différentes.

Le résultat du test est une série de paires de groupes dont les moyennes sont considérées comme significativement différentes, au niveau de risque a choisi.

Statistique de Newman-Keuls et valeurs critiques

Le test de Newman-Keuls fournit pour chaque paire de comparaison une valeur de statistique de test « q_observé » que l'on confronte à une valeur critique théorique issue de la table de Newman-Keuls.

Cette valeur critique dépend, pour chaque paire de groupes comparés :

Du niveau de risque a choisi par l'analyste,
Des effectifs de ces groupes,
et de la différence des rangs des moyennes des deux groupes comparés. Par exemple, si les moyennes se présentent dans l'ordre m₁ < m₂ < m₄ < m₃, si on compare m₂ à m₃, cette différence (appelée "étendue") est K = 3, et si on compare m₂ à m₄, l'étendue est K = 2.

Ainsi, la valeur critique est réajustée à chaque nouvelle comparaison, en fonction du nombre de moyennes comprises dans l’étendue délimitée par les 2 moyennes comparées, et en fonction des effectifs des groupes comparés.

La présence d’un q_observé supérieur ou égal à la valeur critique « q_critique » lue dans la table permet de rejeter l’hypothèse H₀ selon laquelle les moyennes des 2 distributions concernées sont égales.

Les paires de moyennes comprises entre deux moyennes jugées non significativement différentes ne sont pas testées.

Un exemple pratique

On souhaite comparer les rendements de production de blé en fonction de l’utilisation de tel ou tel engrais. On dispose de 4 engrais différents, testés à la même époque, sur 4 séries de parcelles sélectionnées de façon aléatoire. Après la récolte, une ANOVA est conduite afin de savoir si les rendements moyens sont significativement différents.

Si l’ANOVA rejette l'hypothèse d'égalité de ces moyennes, il conviendra de déterminer le(s) groupe(s) dont la(es) moyenne(s) est(sont) significativement différente(s) des autres.

Le nombre total de comparaisons par paires de moyennes est de 6 ([4 x 3] / 2). Le test de Newman-Keuls pourra permettre de réduire ce nombre total de comparaisons possibles en fonction des résultats de premières comparaisons pratiquées sur les moyennes classées m₂ < m₁ < m₄ < m₃ :

On commence par comparer les deux moyennes extrêmes, c.à.d. celles du Groupe 2 et du Groupe 3 (H₀ : µ₂ = µ₃ / H₁ : µ₂ µ₃) (l’étendue de la comparaisons est K = 4).
On constate que q_observé > q_critique, et on rejette l’hypothèse H₀ relative à cette comparaison. On conclut que les 2 groupes étudiés ont des moyennes significativement différentes.
On poursuit en comparant le Groupe 2 et le Groupe 4 (H₀ : µ₂ = µ₄ / H₁ : µ₂ µ₄) (l’étendue de la comparaisons est K = 3)…
Les comparaisons successives révèlent que la moyenne du Groupe 2 est significativement différente de celles de tous les autres groupes, on doit donc poursuivre les comparaisons en prenant comme nouveau point de départ la moyenne immédiatement supérieure à µ₂ (dans notre cas : µ₁). Ainsi, on comparera le Groupe 1 au Groupe 3 (H₀ : µ₁ = µ₃ / H₁ : µ₁ µ₃) (dans ce cas l’étendue de la comparaisons est K = 3).
Le résultat de cette nouvelle comparaison ne permet pas de rejeter H₀, on en conclut donc que seule la moyenne m₂ est significativement différente de celles des autres groupes, lesquels ne sont pas significativement différent entre eux. Cette conclusion permet de « réunir » (ou d’associer) les groupes de la façon suivante : (µ₂) (µ₁ = µ₄ = µ₃).