Pente

En mathématiques, la pente est la tangente de l'angle entre l'axe des x et une droite.

En Modélisation de Données, le terme "pente" se rencontre en Régression Linéaire Simple (RLS). Il fait alors référence :

    * soit à la pente de la Droite de Régression,

    * soit à la pente de la Droite des Moindres Carrés (DMC).

Deux paramètres sont nécessaires pour définir une droite, et l'autre paramètre est le plus souvent l'Ordonnée à l'Origine.

L'interprétation de la pente est simple : à un déplacement de dx le long de l'axe des x correspond un déplacement dy le long de l'axe des y, avec

dy = dx.Pente

 
La pente est donc le taux de variation de y quand x varie (mais sa valeur numérique dépend des unités choisies sur les axes).

 
La DMC dépend de l'échantillon. Il en est de même pour la pente, qui est donc une variable aléatoire. Sous les hypothèses standard de la RLS, la distribution de la pente est bien comprise, et peut être calculée exactement.

L'animation suivante illustre la distribution de la pente sous diverses "conditions expérimentales".

L'illustration propose :

    * Une droite de régression (en rouge),

    * un échantillon,

    * la Droite des Moindres Carrés (DMC) correspondante (en bleu), ainsi qu'une représentation graphique de la pente de cette droite.

Pour obtenir une autre droite de régression, cliquez sur "New".

Notez que les points de l'échantillon sont équidistants en x. Ceci peut apparaître comme une restriction sévère, mais tel n'est pas le cas :

    * D'abord, une telle situation n'est pas inhabituelle en pratique.

    * Mais surtout, la RLS ne considère pas x comme une variable aléatoire (seul y est aléatoire). La distribution de la pente ne dépend que du nombre de points, de l'écart-type en x de l'échantillon, et du niveau de bruit. Ces quantités restent constantes quand on passe d'un échantillon au suivant. Ne considérer que des échantillons constitué de points équidistants est donc une restriction, mais qui ne remet pas en cause la validité de la démonstration.
 
Le cadre de la partie inférieure de la figure montre une gaussienne qui est la distribution théorique de la pente.

    * La moyenne de cette gaussienne est la pente de la droite de régression (qui, dans la réalité, est inconnue). Ceci est une conséquence du fait que la pente de la DMC est un estimateur non biaisé de la pente de la droite de régression.

    * La variance de la gaussienne est la variance théorique de la distribution de la pente de la DMC.

 
Cliquez sur "Go", et observez la construction progressive de la distribution de la pente de la DMC.
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L'Ecart-Type de la distribution de la pente est une grandeur fondamentale en RLS. C'est une mesure de l'incertitude qui pèse sur la valeur de la pente de la droite de régression, et donc sur dépendance de y par rapport à x.  Il est à la base d'un test qui décidera si l'hypothèse de l'existence d'un lien entre x et y est crédible ou non.

Si vous êtes déjà quelque peu familer avec la RLS, vous pouvez être surpris que les droites de régression horizontales soient autorisées dans l'illustration ci-dessus, alors même qu'elles décrivent des situations d'abscence de lien entre x et y. Mais la question abordée ici est simplement la distribution de la pente de la DMC, qui est parfaitement définie même en l'abscence de lien entre x et y.
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 Alors que la distribution de l'Ordonnée à l'Origine dépend de la position de l'axe y, celle de la pente ne dépend pas de la position des axes (c'est la raison pour laquelle les positions de ces axes n'est pas ajustable sur l'illustration). En d'autres termes :

    * ajouter une même quantité à toutes les abscisses,

    * et/ou ajouter une même quantité à toutes les ordonnées

ne change pas la pente (et donc a fortiori sa distribution).

Vous pouvez simuler une translation de l'axe y en translatant la plage de l'échantillon (utilisez les boutons "Left" et "Right" en conservant constante la quantité "Right - Left") tout en gardant constantes les valeurs des autres paramètres. Vous pouvez faire cela tout en conservant la droite de régression courante en cliquant sur le petit bouton "Reset" en bas et à droite de l'illustration.
Observez que la distribution de la pente ne change pas quand vous translatez l'échantillon.
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Faites varier le nombre de points (tous les autres paramètres maintenus constants), et observez que l'écart-type de la distribution de la pente diminue quand le nombre de points augmente : l'augmentation du nombre de points réduit l'incertitude sur la position de la droite de régression.
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Changez l'étendue de l'échantillon (tous les autres paramètres maintenus constants), et observez que l'écart-type de la distribution de la pente décroit quand cette étendue augmente. Cette situation est semblable à celle d'une direction de l'espace définie par un tuyau : plus long est le tuyau, et plus précisément est définie la direction.
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Observez que l'écart-type de la distribution de la pente ne dépend pas du tout de la droite de régression (pour un jeu de valeurs donné des paramètres). Cliquez à plusieurs reprises sur "New" : la position de la gaussienne change en fonction de la pente de la droite de régression, mais sa variance reste constante.

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Vous trouverez ici un résumé des principaux résultats relatifs à la Pente en RLS (équation, propriétés en tant qu'estimateur, distribution).

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Voir aussi: