|
|
|
|
|
|
|
Animation interactive |
|
Poisson (Distribution de)
La Distribution de Poisson se définit comme limite de la Distribution Binomiale B(n, p) lorsque :
* n tend vers l'infini,
* p tend vers 0,
d'une façon telle que le produit np tende vers une limite positive l.
La distribution de Poisson est donc une alternative à la distribution normale pour approximer une distribution binomiale pour de grandes valeurs de n et des petites valeurs de p. Bien entendu, le Théorème Central Limite garantit que pour des valeurs de n suffisamment grandes, la distribution normale est une bonne approximation de la distribution binomiale. Mais si p (ou 1 - p) est très petit, la distribution binomiale est fortement asymétrique, et un niveau d'approximation satisfaisant peut n'être atteint que pour des valeurs de n exagérément grandes. La distribution de Poisson est alors une bien meilleure approximation de la distribution binomiale, particulièrement dans les ailes, où les probabiités ont des valeurs très faibles.
La Distribution de Poisson est discrète, et son support est l'infinité des nombres entiers k = 0, 1, 2, ... .
La probabilité de l'entier k est :
|
La distribution de Poisson dépend du seul paramètre l, alors que la distribution binomiale dépend des deux paramètres n et p. Ceci est dû à la contrainte lim(np) = l.
La distribution de Poisson est utilisée pour décrire des situations dans lesquelles des évènements rares et aléatoires se produisent au fil du temps. Des exemples typiques sont :
* Clients arrivant dans une boutique.
* Fautes de frappe dans un texte long.
* Demande de connexion téléphonique de la part d'un appelant.
* Demande de service CPU ou I/O de la part d'une tâche informatique.
* etc...
Le nombre d'évènements se produisant dans une période donnée T sera alors souvent décrit convenablement par une variable aléatoire ayant une distribution de Poisson.
Dans une telle situation, on peut supposer en première approximation qu'il existe une probabilité donnée p pour qu'un évènement se produise dans un intervalle de temps Dt (l'approximation venant du fait que nous ignorons la possibilité pour que plus d'un évènement se produise pendant Dt). Le nombre k d'évènements se produisant pendant la période T = n.Dt est alors une variable binomiale B(n, p).
Quand nous réduisons Dt (et donc p) à T constant, n augmente. Notre approximation devient également de mieux en mieux justifiée. Quand Dt tend vers 0, le nombre d'évènements se produisant pendant la période T peut être perçu comme résultant d'un tirage d'une distribution binomiale avec une valeur de p "infiniment petite" et une valeur de n "infiniment grande", et telles que le produit np ait une valeur finie l. Cette distribution limite est, par définition, la distribution de Poisson.
Nous montrons ici
que la moyenne empirique 
est une statistique exhaustive pour le paramètre l.
Nous montrons ici
que la moyenne empirique est un estimateur efficace du paramètre l.
Nous montrons ici
que la distribution de Poisson fait partie de la famille exponentielle. Ceci
nous conduira à une deuxième démonstration de l'efficacité de
comme estimateur de l.
_______________________________________________
|
Tutoriel 1 |
Nous calculons ici la distribution de probabilité de la distribution de Poisson, définie comme limite d'une distribution binomiale quand n tend vers l'infini, p tend vers 0 et le produit np tend vers une limite l.
Nous utilisons ensuite un argument intuitif pour deviner la moyenne et la variance de la distribution de Poisson, avant de calculer ces grandeurs en n'ayant recours qu'à leur définitions élémentaires.
Nous calculons enfin la Fonction Génératrice des Moments de la distribution de Poisson, à partir de laquelle nous recalculerons la moyenne et la variance. Cette approche s'avèrera être plus simple que le calcul direct.
PROPRIETES ELEMENTAIRES
DE LA DISTRIBUTION DE POISSON
|
Distribution de probabilité Moyenne et variance (Calcul direct) Un argument intuitif Moyenne Variance Fonction génératrice des moments et moments Fonction génératrice des moments Moyenne Variance |
||
|
TUTORIEL |
|
|
|
|
|
|
* Paramètre
l est réglable. |
|
_________________________________________________________
|
Tutoriel 2 |
Dans ce Tutoriel :
1) Nous montrons que la somme de deux variables de Poisson indépendantes est également une variable de Poisson dont nous calculons la valeur du paramètre. Cette propriété importante s'appelle "Additivité", et se rencontre chez d'autres variables classiques (p.ex. binomiale, Gamma).
2) Nous traitons ensuite le problème inverse : comment "décomposer" une variable de Poisson X en deux variables de Poisson indépendantes X1 et X2 et telles que X1 + X2 = X. Nous verrons comment l'introduction d'une suite de variables binomiales auxiliaires Zn~B(n, p) permet de résoudre le problème, et nous calculerons les paramètres respectifs de X1 et de X2 en fonction de p.
3) Nous montrons enfin que la distribution conjointe d'un ensemble de variables de Poisson indépendantes conditionnellement à leur somme est une distribution multinomiale.
ADDITIVITE ET DECOMPOSITION DE VARIABLES DE POISSON
VARIABLES DE POISSON CONDITIONNELLEMENT A LEUR SOMME
|
Additivité Un argument intuitif Calcul direct Par la fonction génératrice des moments Décomposition d'une variable de Poisson Le mécanisme de la décompostion Identification des composantes Généralisation Variables de Poisson conditionnellement à leur somme |
||
|
TUTORIEL |
|
|
_________________________________________________
Voir aussi:
|
|
|
|
Téléchargez ce Glossaire |
|
|
|
|
|
