Echantillonnage sans remise

Presque toutes les distributions de probabilité évoquées dans ce Glossaire se réfèrent à des populations infinies (à l'exception de la distribution hypergéométrique). Par conséquent, lorsqu'un individu est retiré de la population, celle-ci reste inchangée et tous les tirages se font donc toujours à partir de la même population. Ceci rend les observations tirées successivement de cette population indépendantes, ce qui rend les calculs plus "simples", et il est souvent fait appel à cette indépendance dans les développements sur les variables aléatoires.

Sélectionnons au hasard un individu dans une population finie dans le but de mesurer une de ses caractéristiques (la variable aléatoire). Une fois la mesure effectuée, il est possible :

* Soit de remettre l'individu dans la population, ce qui lui permettra d'être éventuellement tiré à nouveau par la suite. C'est le schéma du tirage avec remise. Les individus sont toujours pris dans la même population, et la situation n'est pas différente de celle rencontrée avec une population infinie.

* Soit de le retirer de la population après qu'il ait été sélectionné : c'est le tirage sans remise.

Ne pas remettre un individu dans une population finie après mesure a des conséquences importantes. La sélection de l'individu suivant portera sur une nouvelle population, qui est la population précédent le tirage amputée de l'individu sélectionné.

* Avec une population infinie, il est courant de considérer un échantillon de taille n comme la réalisation d'un n-vecteur aléatoire {X₁, X₂ , ..., X_n}, où toutes les X_n sont des variables indépendantes.

* Le même paradigme peut être utilisé vis-à-vis d'une échantillon tiré sans remise d'une population finie, mais les X_i ne sont cette fois pas indépendantes.

Ne plus pouvoir s'appuyer sur l'hypothèse d'indépendance des X_i rend la vie passablement plus compliquée. Cette complexification apparaîtra clairement dans le Tutoriel ci-dessous, qui aborde deux des activités les plus communes du statisticien : estimer une moyenne, et estimer une variance.

Estimer une proportion (p.ex. celle des consommateur préférant la marque "A" à tout autre marque) apparaîtra comme un cas particulier de l'estimation d'une moyenne grâce à la définition d'une distribution appropriée sur la population.

1) Nous montrons dans un premier temps comment estimer la moyenne d'une population finie par échantillonnage sans remise.

* Nous montrerons que la moyenne empirique (c.à.d. de l'échantillon) est un estimateur sans biais de la moyenne de la population, un résultat peu surprenant.

* Nous calculerons ensuite la variance de cet estimateur. Ce calcul est assez compliqué, mais également très instructif car il nécessite d'établir deux résultats intermédiaires en cours de démonstration :

- Nous verrons que le fait que les observations ne soient plus indépendantes a pour conséquence que la covariance entre deux observations n'est plus nulle, et nous calculerons sa valeur.

- Pour établir ce résultat, nous aurons besoin de calculer l'espérance d'une observation conditionnellement à la valeur d'une autre observation. A nouveau, le manque d'indépendance entre observations aura pour conséquence que cette espérance ne sera plus égale à la moyenne de la population.

2) L'expression de la variance de la moyenne empirique inclut s², la variance de la population, qui est inconnue. Mais nous identifierons un estimateur sans biais de cette variance. Là encore, le résultat est plus complexe que pour une population infinie.

3) Nous calculerons la moyenne et la variance d'une proportion mesurée sur l'échantillon. Il ne s'agira que d'un cas particulier d'estimation de la moyenne pour une distribution convenablement choisie sur la population.

Covariance
Espérance conditionnelle
Variance

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