Slutsky  (Théorème de)

Sont regroupés sous ce nom plusieurs théorèmes portant sur la distribution limite d'une suite de vecteurs aléatoires (ou de variables aléatoires comme cas particulier).

Théorème de Slutsky's général

Forme simple

Soient :

    * {X_n} une suite de vecteurs aléatoires p-dimensionnels convergeant en distribution vers le vecteur X,

    * et f(.) une fonction de R ^p dans R ^k.

Une question naturelle est :

"Quelle est la distribution limite de la suite de vecteurs aléatoires f{X_n} ?"

Sous sa forme la plus générale, le théorème de Slutsky énonce que si f(.) est continue, alors f{X_n} converge en distribution vers f(X).

La démonstration de ce résultat intuitif est difficile et se situe au-delà des limites de ce Glossaire.

Forme complète : discontinuités de f(.)

La continuité de f(.) est en fait une condition trop forte. Le théorème est encore valide si f(.) n'est pas continue, mais si X est dans l'ensemble des points de continuité de f(.) en probabilité 1.

Cette condition n'est pas qu'un simple détail technique. Sans elle, plusieurs résultats importants (par exemple la convergence de la suite des inverses d'une suite convergente de v.a.) ne peuvent être obtenus. A l'inverse, lorsque cette condition n'est pas satisfaite, certaines convergences espérées ne se produisent pas.

Suite de variables aléatoires

Le théorème s'applique, bien sûr, lorsque les vecteurs X_n ont une seule composante. La suite {X_n} est alors simplement une suite de variables aléatoires.

Le théorème de Slutsky énonce alors que :

        * Si une suite {X_n} de variables aléatoires converge en distribution vers la v.a. X,

        * et si f(.) est une fonction continue,

alors

            * {f(X_n)} converge en distribution vers f(X).

Convergence vers un vecteur constant

Une situation fréquente est celle où un vecteur aléatoire peut être partitionné en deux sous-vecteurs :

X_n = (Y_n , Z_n)

avec :

    * {Y_n} convergeant en distribution vers le vecteur Y.

    * {Z_n} convergeant en distribution (ou, de façon équivalente, en probabilité) vers un vecteur constant C.

Une version du théorème de Slutsky énonce alors que la suite {(Y_n , Z_n)} converge en distribution vers f((Y, C)).

Forme élémentaire du théorème de Slutsky

Des résultats ci-dessus, il est facile de tirer le résultat suivant :

    * Si la suite de vecteurs aléatoires {Y_n} converge en distribution vers Y,

    * Et si la suite de vecteurs aléatoires {Z_n} converge en distribution (ou, de façon équivalent, en probabilité) vers un vecteur constant C,

alors

qui est la forme la plus souvent rencontrée du théorème de Slutsky.

En termes informels, le théorème énonce donc qu'une variable aléatoire convergeant vers une constante se comporte comme cette constante vis à vis de l'addition et de la multiplication..

Nous donnons dans le Tutoriel ci-dessous les démonstrations directes de ces deux résultats particuliers mais importants en pratique.

Suites asymptotiquement équivalentes

Deux suites {X_n} et {Y_n} de vecteurs aléatoires sont dites être asymptotiquement équivalentes si la suite {X_n - Y_n} converge vers 0 (en probabilité).

Un résultat relié au théorème de Slutsky énonce alors que :

    * Si {X_n} converge en distribution vers X,

    * Et si les deux suites {X_n} et {Y_n} sont asymptotiquement équivalentes,

alors

    * {Y_n} converge également en distribution vers X.

Extensions du théorème de Slutsky

Le lecteur aura remarqué que le théorème de Slutsky fait référence à la convergence en distribution. On montre que les résultats de cette page sont également valides si "en distribution" est remplacé par "en probabilité". Par exemple, la forme fondamentale du théorème s'énonce alors :

Si {X_n} converge en probabilité vers X, et si f(.) est continue, alors {f(X_n)} converge en probabilité vers f(X).

En fait, le résultat relatif à la convergence vers un vecteur constant peut même alors être renforcé, et remplacé par :

    * Soit {X_n} une suite de vecteurs aléatoires convergeant en probabilité (et pas simplement "en distribution)" vers X,

    * Soit {Y_n} une suite de vecteurs aléatoires convergeant en probabilité (et pas simplement "en distribution)" vers Y,

alors

    * Le vecteur aléatoire {X_n, Y_n} converge en probabilité vers le vecteur aléatoire {X, Y}.

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Les résultats restent encore valides si "convergence en probabilité" est remplacé par "convergence presque sure".

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Dans ce Tutoriel, nous démontrons deux cas particuliers du théorème de Slutsky.

Dans les deux cas, on suppose que :

    * {X_n} et une suite de v.a. convergeant en distribution vers X.

    * {Y_n} est une suite de v.a. convergeant en probabilité vers  c.

1) Le premier cas énonce que la suite {X_n + Y_n} converge en distribution vers X + c.

2) Le deuxième cas énonce que la suite {X_nY_n} converge en distribution vers cX.

De façon un peu inattendue, la démonstration relative au produit s'avèrera être un peu plus simple que celle relative à la somme.

DEUX CAS PARTICULIERS

DU THEOREME DE SLUTSKY

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Dans ce Tutoriel, nous commençons par examiner quelques exemples d'application du théorème de Slutsky. Ceci nous permettra d'illustrer l'importance de la condition sur la continuité de la fonction de transformation f(.) : il n'est pas nécessaire que cette fonction soit continue, seulement que la variable X soit en probabilité 1 dans l'ensemble des points de continuité de f(.). Nous exhiberons ainsi  :

    * Des exemples où le théorème de Slutsky s'applique bien que f(.) ne soit pas continue.

    * A l'inverse, des exemples où la distribution limite d'une suite convergente de v.a. n'est pas égale à la distribution de la limite de la suite en raison du fait que la condition sur la continuité de f(.) n'est pas satisfaite.

Dans le même esprit, nous donnerons un exemple d'une suite {X_n, Y_n} de vecteurs aléatoires pour laquelle aussi bien {X_n} que {Y_n} convergent en distribution alors que la suite {X_n, Y_n} ne converge pas. Ceci mettra l'accent sur la nécessité d'avoir {Y_n} convergeant vers une constante pour que le théorème de Slutsky puisse s'appliquer.

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Nous traiterons ensuite deux applications importantes du théorème de Slutsky :

    * Nous montrerons d'abord que la variance empirique s_n² est un estimateur convergent de la variance σ² d'une distribution. Ce résultat n'est certes pas surprenant, mais nécessite néanmoins d'être établi de façon certaine.

    * Nous montrerons ensuite que la distribution limite d'une moyenne empirique standardisée est la distribution normale standard N(0, 1). Ce résultat est différent du Théorème Central Limite, lequel standardise la moyenne empirique en ayant recours à la variance vraie de la distribution, alors que la standardisation fera ici appel à la variance estimée s_n².

La convergence de la distribution t de Student vers la distribution normale standard lorsque la taille de l'échantillon tend vers l'infini apparaîtra comme un cas particulier de ce résultat général.

Ce dernier résultat est également établi ici en calculant directement la limite de la fdp de la distribution t de Student, et en constatant que cette  limite est la fdp de la distribution normale standard.

THEOREME DE SLUTSKY : EXEMPLES

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