Formule de Stirling

est d'un usage très fréquent en mathématiques, et donc en théorie des probabilités (voir par exemple les distributions binomiale, Gamma et de Poisson, ou la distribution des statistiques d'ordre).

Malheureusement, n! prend des valeurs astronomiquement grandes même pour de petites valeurs de n, et dès le 18^ème siècle a été ressenti le besoin d'une méthode de calcul approximative mais rapide de la fonction factorielle. Il a alors été montré que :

Cette expression s'appelle la formule de Stirling, ou "Approximation de Stirling".

Le symbole "~" a une signification forte. Il exprime le fait que le terme de droite de l'expression ci-dessus est une approximation de n!, mais de plus que cette approximation devient de plus en plus précise pour des valeurs de n de plus en plus grandes. En termes plus techniques, le rapport des deux termes de l'expression tend vers 1 quand n tend vers l'infini. Ce résultat asymptotique fait de la formule de Stirling non seulement un moyen pratique de calcul de la fonction factorielle, mais également un outil théorique puissant. Ainsi, dans ce site, la formule de Stirling est utilisée :

1) Pour démontrer la convergence de la distribution t de Student vers la distribution normale standard quand la taille de l'échantillon tend vers l'infini,

3) Pour identifier une condition suffisante de convergence de la distribution hypergéométrique vers une distribution normale.

où les coefficients a_i sont eux-mêmes définis par des séries des puissances inverses de n : cette formule est donc une expression exacte pour n!.

une expression qui rend l'erreur numérique sur n! négligeable même pour des petites valeurs de n.

1) A titre d'échauffement, nous commençons par identifier une première approximation rustique mais très simple de n!.

2) Nous tentons ensuite de démontrer la formule de Stirling en ayant recours aux propriétés de la fonction Gamma (qui est la généralisation de la fonction factorielle à tous les nombres réels positifs). Nous obtiendrons ainsi la formule de Stirling en quelques lignes simples et élégantes, mais nous ne pourrons pas montrer son exactitude asymptotique.

Cet échec vient de ce que la démonstration est inspirée par une méthode puissante et générale de calcul de certains types d'intégrales connue sous le nom de "méthode du col" ("saddle point method") que nous ne pouvons malheureusement pas développer dans ce Glossaire. La méthode complète parvient sans peine à prouver l'exactitude asymptotique de la formule de Stirling.

3) Echaudés par cette déconvenue, nous revenons en territoire connu et nous tournons vers le Théorème Central Limite (TCL). De fait, en appliquant le TCL à la distribution exponentielle, nous obtiendrons aisément la formule de Stirling.

La démonstration nous laisse cependant un goût d'inachevé : nous interprétons le TCL comme portant sur la convergence de la densité de probabilité de la moyenne standardisée vers la densité normale standard, alors même que nous savons que le TCL ne porte pas sur les densités mais sur les fonctions de répartition.

Ainsi, bien qu'apparemment convaincante, la démonstration n'est pas valide en l'état. Elle ne serait acceptable que si nous pouvions montrer que les conditions de convergence de la densité de probabilité de la moyenne standardisée vers la densité normale standard sont vérifiées, une tâche difficile se situant bien au-delà des limites de ce Glossaire.

4) Pour obtenir enfin une démonstration complète, nous serons donc contraints de revenir à une méthode plus élémentaire qui repose sur la formule de Wallis :

que nous démontrerons intégralement. Cette formule est le point culminant de l'étude des intégrales de Wallis que nous avions entamée lors du calcul de la variance de la distribution t de Student.

La démontration est un peu longue, mais elle permet de montrer rigoureusement que la formule de Stirling est asymptotiquement exacte.

Intégrales de Wallis

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