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Animation interactive |
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Transformation par Fonction de Répartition
Soit X une variable aléatoire continue quelconque (mais ayant une densité de probabilité p(x)), et soit F(x) sa fonction de répartition.
Nous allons utiliser F pour créer une nouvelle variable aléatoire Y = F(X).
Le théorème dit "de Transformation par Fonction de Répartition" (TFR) énonce alors que :
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Y = F(X) ~ Uniforme[0, 1] |
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La TFR peut également s'énoncer dans l'autre sens.
Soient :
* F la fonction de répartition de la v.a. continue X.
* Z une v.a.de distribution uniforme dans [0, 1] :
Z ~ Uniforme[0, 1]
Alors la v.a. F -1(Z) a la même distribution que X :
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F -1(Z) ~ X avec Z ~ Uniforme[0, 1] |
Cette version conduit à une méthode puissante de simulation d'une v.a. X :
* Si l'on connait sa fonction de répartition inverse sous forme analytique,
* Et s'il est possible de simuler une variable aléatoire uniformément distribuée dans [0, 1], ce que les ordinateurs font avec un haut niveau de précision.
Beaucoup d'animations de ce site reposent sur la TFR pour simuler des tirages issus d'une distribution donnée.
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La TFR est démontrée ici et illustrée plus bas par une animation.
Considérons une région où la densité de probabilité p(x) est faible. En moyenne, la densité des observations d'un échantillon sera faible dans cette région. Mais p(x) est la dérivée de F(x), et donc cette région est également une région de faible pente de F. En conséquence, F aura pour effet de "comprimer" localement les images des observations, compensant ainsi la faible densité initiale.
Inversement, dans les régions de forte densité, la forte pente de F augmentera la dispersion des images des observations, compensant ainsi la forte densité initiale (image inférieure de l'illustration ci-dessus).
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On peut donc s'attendre à ce que la distribution de F(x) soit moins "vallonnée" que celle de X et de fait, cette distribution est parfaitement plate puisque c'est la distribution Uniforme[0, 1].
Cette animation illustre la Transformation par Fonction de Répartition.
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* Créez une densité de probabilité en cliquant à plusieurs reprises dans le cadre à fond gris. * Quand vous êtes satisfait du résultat, cliquez sur "Go" et observez la construction progressive de l'histogramme de votre densité. * Cliquez sur "Pause", puis à plusieurs reprises sur "Next". A chaque nouveau clic, une nouvelle observation est tirée de Uniforme[0, 1]. La distribution des images de ces observations par F -1 est la densité que vous avez créée. |
La transformation par fonction de répartition est utilisable pour simuler une distribution, et donc estimer une de ses caractéristiques (p. ex. un moment) par la méthode de Monte-Carlo. Elle suppose cependant que la fonction de répartition de la distribution soit connue analytiquement, ou pour le moins tabulée. En pratique, on est souvent confronté à une situation où cette fonction n'est pas connue, mais où l'on dispose d'un échantillon tiré de la distribution. La fonction de répartition empirique peut être alors utilisée comme approximation de la vraie fonction de répartition.
Cette idée est le point de départ de la méthode d'estimation dite "bootstrap".
Une importante famille de tests d'adéquation utilise la Transformation par Fonction de Répartition pour transformer les observations en des variables indépendantes et uniformément distribuées. En conséquence, pour toute distribution de référence, la distribution de la statistique de test est identique à la distribution de cette même statistique pour la distribution uniforme dans [0, 1] : la distribution de la statistique de test ne dépend donc pas de la distribution testée.
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Voir aussi:
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