Animation interactive

Uniforme (Distribution)

Distribution uniforme continue

La distribution uniforme continue sur le segment [a, b] est définie par la densité de probabilité p(x) suivante :

p(x) = 0 pour x < a.
p(x) = k pour a < x < b, où k est un nombre réel.
p(x) = 0 pour x > b.

L'intégrale d'une d.p. étant égale à 1, on doit avoir k = 1/(b - a).

Propriétés élémentaires de la distribution uniforme

Moyenne

µ = (a + b)/2

Variance

Var = (b - a)²/12

Fonction génératrice des moments de la distribution uniforme

Nous verrons que, pour la distribution uniforme, le recours à la fonction génératrice des moments n'est pas une méthode économique pour le calcul des moments.

Statistiques d'ordre de la distribution uniforme

Nous décrivons ici les distribution des statistiques d'ordre de la distribution uniforme.

Estimation du paramètre de la distribution U[0, q]

Statistique exhaustive

Nous identifions ici une statistique exhaustive pour le paramètre q.

Estimation sans biais

Nous identifions ici un estimateur sans biais de q. La distribution uniforme ne satisfait pas aux conditions de régularité permettant d'établir l'inégalité de Cramér-Rao, et cet estimateur s'avèrera de fait avoir une variance inférieure à la "borne" (alors sans objet) de Cramér-Rao.

Distribution uniforme discrète

La notion de "distribution uniforme" se transpose aussi au cas discret. Nous avons alors n objets, chacun des objets ayant la probabilité 1/n d'être choisi lors d'un tirage. C'est typiquement la situation recontrée dans une loterie (honnête !).

Le distribution uniforme discrète est un cas particulier de la distribution multinomiale.

Distribution uniforme multidimensionnelle

La notion de distribution uniforme s'étend directement au cas multidimensionnel. La distribution uniforme dans [0, 1]ⁿ est définie par sa f.d.p. qui est égale à :

"1" si 0 < x_i < 1 pour tout i = 1, 2, ..., n.
"0" sinon.

En pratique, la distribution uniforme dans [0, 1]ⁿ est simulée par le produit de n variables indépendantes, toutes uniformément distribuées dans [0, 1].

La distribution uniforme dans tout hyper-parallelépipède dons les arêtes sont parallèles aux axes est une généralisation immédiate de cette distribution.

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Malgré sa simplicité, la distribution uniforme a d'importantes applications.

Par définition, un "nombre aléatoire" est la valeur prise par une variable X uniformément distribuée dans [0, 1]. Les nombres aléatoires sont à la base des processus de simulation (ce site fait un usage intensif des nombres aléatoires dans ses animations).
Il est tout à fait remarquable qu'il soit possible de générer des suites de nombres "pseudo-aléatoires" par des algorithmes purement déterministes. La qualité de cette simulation (disponible sur tout PC) est telle que pour des applications ordinaires, une série de nombres authentiquement aléatoires est indiscernable d'une série de nombres pseudo-aléatoires.
Une conséquence de la Transformation par Fonction de Répartition est que les nombres alétoires peuvent être utilisés pour simuler un grand nombre de distributions classiques, continues ou discrètes.
La distribution uniforme est également un ingrédient essentiel de procédures pemettant :

D'extraire d'un ensemble des sous-ensembles aléatoires.
De générer des permutations aléatoires.

Malgré son aspect inoffensif, la distribution uniforme est le point d'entrée obligatoire d'une des techniques numériques les plus importantes : la simulation de Monte-Carlo.

Animation

La construction progressive de l'histogramme d'une distribution uniforme n'est pas un spectacle stimulant. Nous pimentons donc la distribution uniforme de base par quatre petits problèmes construits autour de la distribution uniforme, et que nous illustrons par une animation.

Voici le premier :

X est une v.a. uniforme dans [0, 1]. Sa valeur x est représentée par le point noir dans l'illustration ci-dessous.
Une fois la valeur de X connue, une v.a. Y est tirée d'une distribution uniforme dans [x, 1]. La valeur de Y est représentée par le point rouge. Ce point est donc tiré d'une distribution uniforme dans le segment vert.

Quelle est la distribution de Y ? A défaut d'un nom plus approprié, nous appelerons cette distribution la "distribution uniforme récursive".

Nous donnons la réponse dans le Tutoriel ci-dessous.

Nous calculons :
* Ici l'espérance de Y par le Théorème de l'Espérance Itérée.
* Ici la variance de Y par le Théorème de la variance conditionnelle.

Le "Livre des Animations" sur votre ordinateur

Dans cette même animation, nous illustrons également trois autres distributions étiquetées "Short", "Long" et "Random".

Comme précédemment, X est uniforme dans [0, 1]. Mais maintenant, au lieu de choisir systématiquement Y dans le segment de droite [x, 1] :

Si "Short" est sélectionné, Y est uniforme dans le plus court des deux segments [0, x] and [x, 1]. Quelle est la distribution de Y ?
Si "Long" est sélectionné, Y est uniforme dans le plus long des deux segments [0, x] and [x, 1]. Quelle est la distribution de Y ?
Si "Random" est sélectionné, un des deux segments [0, x] ou bien [x, 1] est sélectionné au hasard (50% de chance pour chacun), et Y est tiré uniformément dans le segment qui a été sélectionné. Quelle est la distribution de Y ?

Nous donnons les solutions dans le Tutoriel ci-dessous.

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Si vous avez trouvé les solutions de ces problèmes, vous n'aurez aucun mal à résoudre les deux derniers que voici. Ce sont des variantes du cas "Random", dans lesquelles le choix du segment dans lequel est tiré Y est encore probabiliste, mais où les probabilités de choix, au lieu d'être fixes, sont elles-mêmes des variables aléatoires.

Donc, comme précédemment, X est uniforme dans [0, 1].

Dans le premier problème, le segment dans lequel Y sera tiré est :

[0, x] avec la probabilité x,
[x, 1] avec la probabilité 1 - x.

Autrement dit, chaque segment se voir affecté une probabilité d'être choisi égale à sa longueur. Quelle est la distribution de Y ?

Dans le deuxième problème, le segment dans lequel Y sera tiré est :

[0, x] avec la probabilité 1 - x,
[x, 1] avec la probabilité x.

Quelle est la distribution de Y ?

Nous vous encourageons à résoudre ces deux problèmes, car les solutions vous surprendront probablement.

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Tutoriel 1

Dans ce Tutoriel, nous établissons les propriétés élémentaires de la distribution uniforme. En raison de la simplicité de la ddp, la façon la plus simple de calculer les moments est le calcul direct à partir de la définition des moments.

Il est cependant instructif de mettre également en œuvre la méthode de la fonction génératrice des moments. Bien que la fonction elle-même soit simple, elle et ses dérivées sont de la forme indéterminée 0/0 pour t = 0, ce qui rend le calcul immédiat des moments impossible. Deux méthodes permettent de contourner cette difficulté : le développement de Taylor, et la règle de l'Hôpital.

Ainsi, bien que la f.g.m. ne soit clairement pas la bonne approche pour le calcul des moments de la distribution uniforme, elle nous permet de présenter deux techniques mathématiques très utiles dans de nombreuses situations.

PROPRIETES ELEMENTAIRES DE LA DISTRIBUTION UNIFORME

Fonction de répartition

Probabilité pour X d'être dans un intervalle donné

Moments de tous ordres

Moyenne

Variance

Moments d'ordres supérieurs

Fonction génératrice des moments et moments

Fonction génératrice des moments

Moments

Développement de Taylor

Règle de L'Hôpital

TUTORIEL

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Tutoriel 2

Dans ce Tutoriel, nous décrivons quelques applications simples mais importantes de la distribution uniforme.

Génération de nombres entiers aléatoires à partir de la distribution uniforme dans [0, 1].
Nous passons un certain temps sur un problème de forme un peu inhabituelle : une urne contient un très grand nombre de boules de diverses couleurs, et la question est d'estimer le nombre de couleurs représentées, sans avoir à examiner la couleur de chacune des boules de l'urne. La solution repose sur un codage astucieux du problème, et la distribution uniforme.
Nous examinons ensuite les questions du tirage :

D'un sous-ensemble aléatoire d'un ensemble.
D'une permutation aléatoire d'un ensemble d'objets.

Nous décrivons quelques unes des solutions classiques de ces problèmes pratiques importants. Certaines démonstrations sont laissées en exercices.

QUELQUES APPLICATIONS DE LA DISTRIBUTION UNIFORME

Distribution uniforme discrete

Le problème "Combien de couleurs ?"

Le problème

Multiplicités et nombre de couleurs

Multiplicités

Nombre de couleurs comme fonction des multiplicités

Estimation du nombre de couleurs

Sous-ensembles aléatoires

Notion de sous-ensemble aléatoire

Deux méthodes intuitives

Enumération des k-sous-ensembles

Tirages sans remise

Une méthode basée sur les probabilités conditionnelles

Principe général

Probabilité pour que le premier élément soit choisi

Cas général

L'algorithme récursif

Représentation en arbre

Permutations aléatoires

Enumération des permutations

Tirage exhaustif sans remise (sans démonstration)

TUTORIEL

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Tutoriel 3

Nous donnons ici les solutions des quatre problèmes illustrés par l'animation ci-dessus.

SOLUTIONS DES PROBLEMES

Solution du problème de la distribution "uniforme récursive"

Solution du problème "Le plus court"

Remarque préliminaire

Distribution "Gauche"

Solution du problème "Le plus long"

Moitié gauche

Moitié droite

Solution du problème "Choix aléatoire"

Mélange de deux v.a.

Solution

TUTORIEL

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Voir aussi :

Transformation par Fonction de Répartition
Statistiques d'ordre
Simulation de Monte-Carlo

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