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Animation interactive |
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Uniforme (Distribution)
La distribution uniforme continue sur le segment [α, β] est définie par la densité de probabilité p(x) suivante :
L'intégrale d'une d.p. étant égale à 1, on doit avoir k = 1/(β - α).
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µ = (α + β)/2 |
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Var = (β - α)²/12 |
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Nous verrons que, pour la distribution uniforme, le recours à la fonction génératrice des moments n'est pas une méthode économique pour le calcul des moments.
Nous décrivons ici les distribution des statistiques d'ordre de la distribution uniforme.
* U[0, θ]
Nous montrons ici que X(n), la plus grande observation d'un échantillon de taille n, est une statistique exhaustive pour θ. Nous montrons ensuite qu'elle est en fait exhaustive minimale, puis qu'elle est complète.
* U[θ, θ + 1]
Nous identifierons une statistique exhaustive pour θ, puis montrerons que cette statistique est exhaustive minimale. Cette statistique est un exemple classique de statistique exhaustive minimale dont la dimension n'est pas égale à la dimension du paramètre à estimer.
Nous montrerons ensuite que cette statistique n'est pas complète et nous en déduirons que dans cette configuration, θ n'a pas de statistique complète.
* U[0, θ]
Nous identifions ici un estimateur sans biais de θ. La distribution uniforme ne satisfait pas aux conditions de régularité permettant d'établir l'inégalité de Cramér-Rao, et cet estimateur s'avèrera de fait avoir une variance inférieure à la "borne" (alors sans objet) de Cramér-Rao.
En fait, nous montrons ici que cet estimateur est l'ESBVM de θ, un résultat que nous généraliserons en identifiant l'ESBVM de toute fonction différentiable de θ.
Remarquons cependant que nous identifions ici un estimateur biaisé de θ dont l'Erreur Quadratique Moyenne (EQM) est inférieure à celle de cet ESBVM.
* U[θ, θ + 1]
Nous montrons ici qu'aucune fonction de θ n'admet d'ESBVM.
Tests sur θ
Nous construisons ici le Test du Rapport de Vraisemblance testant l'hypothèse nulle θ = θ0 contre l'hypothèse alternative θ ≠ θ0 pour la distribution uniforme U[0, θ].
Le schéma de construction du test est réutilisable pour d'autres hypothèses nulles ou alternatives.
La notion de "distribution uniforme" se transpose aussi au cas discret. Nous avons alors n objets, chacun des objets ayant la probabilité 1/n d'être choisi lors d'un tirage. C'est typiquement la situation recontrée dans une loterie (honnête !).
Le distribution uniforme discrète est un cas particulier de la distribution multinomiale.
La notion de distribution uniforme s'étend directement au cas multidimensionnel. La distribution uniforme dans [0, 1]n est définie par sa f.d.p. qui est égale à :
En pratique, la distribution uniforme dans [0, 1]n est simulée par le produit de n variables indépendantes, toutes uniformément distribuées dans [0, 1].
La distribution uniforme dans tout hyper-parallelépipède dons les arêtes sont parallèles aux axes est une généralisation immédiate de cette distribution.
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Malgré sa simplicité, la distribution uniforme a d'importantes applications.
La construction progressive de l'histogramme d'une distribution uniforme n'est pas un spectacle stimulant. Nous pimentons donc la distribution uniforme de base par quatre petits problèmes construits autour de la distribution uniforme, et que nous illustrons par une animation.
Voici le premier :
Quelle est la distribution de Y ? A défaut d'un nom plus approprié, nous appelerons cette distribution la "distribution uniforme récursive". ("Broken Stick distribution" dans la littérature anglo-saxonne).
Nous donnons la réponse dans le Tutoriel ci-dessous.
Nous calculons :
* Ici
l'espérance de Y par le Théorème de l'Espérance Itérée.
*
Ici la variance de Y par le Théorème de la variance conditionnelle.
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Cette distribution uniforme récursive est en relation étroite avec les distributions des records de la distribution uniforme : nous montrons en fait qu'elle est identique à celle de la distribution du premier record de la distribution uniforme.
On pourrait envisager d'itérer la procédure ayant conduit à cette distribution afin d'obtenir les distributions des records d'ordre supérieur, mais les calculs sont inextricables. Heureusement, une méthode plus générale, que nous décrivons, permet de calculer les distributions des records de tous ordres de la distribution uniforme.
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Dans cette même animation, nous illustrons également trois autres distributions étiquetées "Short", "Long" et "Random".
Comme précédemment, X est uniforme dans [0, 1]. Mais maintenant, au lieu de choisir systématiquement Y dans le segment de droite [x, 1] :
Nous donnons les solutions dans le Tutoriel ci-dessous.
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Donc, comme précédemment, X est uniforme dans [0, 1].
Autrement dit, chaque segment se voir affecté une probabilité d'être choisi égale à sa longueur. Quelle est la distribution de Y ?
Quelle est la distribution de Y ?
Nous vous encourageons à résoudre ces deux problèmes, car les solutions vous surprendront probablement.
Nous calculons ici les distributions :
* Du produit,
* Et du rapport
de deux variables indépendantes et uniformément distribuées dans [0, 1] comme illustration du concept de "distribution marginale".
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Tutoriel 1 |
Dans ce Tutoriel, nous établissons les propriétés
élémentaires de la distribution uniforme. En raison de la simplicité de la ddp,
la façon la plus simple de calculer les moments est le calcul direct à partir
de la définition des moments.
Il est cependant instructif de mettre également en œuvre la méthode de la fonction génératrice des moments. Bien que la fonction elle-même soit simple, elle et ses dérivées sont de la forme indéterminée 0/0 pour t = 0, ce qui rend le calcul immédiat des moments impossible. Deux méthodes permettent de contourner cette difficulté : le développement de Taylor, et la règle de l'Hôpital.
Ainsi, bien que la f.g.m. ne soit clairement pas la bonne approche pour le calcul des moments de la distribution uniforme, elle nous permet de présenter deux techniques mathématiques très utiles dans de nombreuses situations.
PROPRIETES ELEMENTAIRES DE LA DISTRIBUTION UNIFORME
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Fonction de répartition Probabilité pour X d'être dans un intervalle donné Moments de tous ordres Moyenne Variance Moments d'ordres supérieurs Fonction génératrice des moments et moments Fonction génératrice des moments Moments Développement de Taylor Règle de L'Hôpital |
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TUTORIEL |
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Tutoriel 2 |
Dans ce Tutoriel, nous décrivons quelques applications simples mais importantes de la distribution uniforme.
Nous décrivons quelques unes des solutions classiques de ces problèmes pratiques importants. Certaines démonstrations sont laissées en exercices.
QUELQUES APPLICATIONS DE LA DISTRIBUTION UNIFORME
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Distribution uniforme discrete Le problème "Combien de couleurs ?" Le problème Multiplicités et nombre de couleurs Multiplicités Nombre de couleurs comme fonction des multiplicités Estimation du nombre de couleurs Sous-ensembles aléatoires Notion de sous-ensemble aléatoire Deux méthodes intuitives Enumération des k-sous-ensembles Tirages sans remise Une méthode basée sur les probabilités conditionnelles Principe général Probabilité pour que le premier élément soit choisi Cas général L'algorithme récursif Représentation en arbre Permutations aléatoires Enumération des permutations Tirage exhaustif sans remise (sans démonstration) |
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TUTORIEL |
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Tutoriel 3 |
Nous donnons ici les solutions des quatre problèmes illustrés par l'animation ci-dessus.
SOLUTIONS DES PROBLEMES
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Solution du problème de la distribution "uniforme récursive" Solution du problème "Le plus court" Remarque préliminaire Distribution "Gauche" Solution du problème "Le plus long" Moitié gauche Moitié droite Solution du problème "Choix aléatoire" Mélange de deux v.a. Solution |
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TUTORIEL |
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Voir aussi :
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