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t (de Student)
Ce terme recouvre :
Soit
X une variable distribuée selon N(µ, 
²).
La moyenne empirique 
d'un
échantillon de n observations a une distribution normale centrée
sur µ et de variance ²/n.
Une simple transformation linéaire sur X permet d'obtenir une distribution
normale standard:
Que devient cette distribution si la variance ² est
inconnue, et doit être remplacée par son estimation sur l'échantillon ?
La distribution normale standard doit alors être remplacée par une distribution
t.
Pour plus d'informations sur les distributions t, voir ici.
En fait, il s'agit de trois tests différents, mais très semblables. Chacun de ces tests aborde un aspect de la question :
"Quelle confiance peut-on accorder à une moyenne calculée sur un échantillon ?"
a) Test t à un échantillon
La moyenne mesurée sur l'échantillon (ou "empirique") de la variable x est m. Cette valeur n'est pas exactement celle attendue, m0, dite "valeur de référence". Cet écart est-il significatif ?
La réponse à cette question est donnée par le "test t à un échantillon".
b) Test t à deux échantillons dépendants
Soit m1 la moyenne empirique mesurée sur un échantillon. Par la suite, les observations de cet échantillon subissent des modifications (p. ex., suite à un traitment médical). La moyenne m2 de cet échantillon "modifié" est alors mesurée, et s'avère être légèrement différente de m1. Cette différence est-elle significative ?
La réponse à cette question est donnée par le "test t à deux échantillons dépendants".
c) Test t à deux échantillons indépendants
Soit
x une même grandeur mesurée sur deux échantillons indépendants. Les moyennes
empiriques de x sont respectivement m1 et m2.
L'écart entre m1 et m2 est-il
significatif ?
La réponse à cette question est donnée par
le "test t à deux échantillons indépendants".
Au-delà de ces applications directes, les tests t se retrouvent souvent dans les techniques de modélisation. Par exemple, la réponse à la question :
La vraie valeur du paramètres p de ce modèle peut-elle être "0" ?
est souvent apportée par un test t.
Le test t ne se généralise pas directement à plus de deux échantillons. Mais il existe un autre test permettant de tester l'hypothèse selon laquelle les moyennes de trois (ou plus) populations normales et de même variance sont égales. Ce test s'appelle ANOVA (univariée).
Le test t à deux échantillons indépendants repose sur l'hypothèse que les deux populations sont normales. Si les populations ne sont pas normales, le test est faussé, surtout si les deux échantillons sont de taille très différentes.
Le test t peut alors être remplacé par un test non paramétrique jouant le même rôle : le test de (Wilcoxon-) Mann-Whitney. Celui-ci est moins puissant que le test t, mais ne formule aucune hypothèse sur la population (supposée commune par l'hypothèse nulle) d'où sont tirés les échantillons.
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Tutoriel |
Le Tutoriel sur les tests t n'a pas encore été traduit en français. Nous vous prions de nous excuser pour cette gêne.
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What is a t-test ? Can we trust a sample average ? What does confidence depend on ? The T statistic The assumptions The variance is known The variance is unknown. Student's t distribution Degrees of freedom The t test Significance level One-sided or two-sided ? The "One Sample" t-test The "Two dependent samples" t-test The "Two independent samples" t-test Where is the "t-test" to be found ? Reading the results of a t-test |
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TUTORIEL |
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