Espérance itérée

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 1

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PROBABILITES et

VARIABLES ALEATOIRES

 

 

 

 

 

 

Espérance

 

Tutoriel

1

Espérance d'une fonction d'une variable aléatoire.
    Espérance de la transformée linéarie d'une v.a.
    Espérance d'une fonction de deux variables aléatoires.
    Espérance d'une combinaison linéaire de variables aléatoires.

 

 

 

Espérance conditionnelle

 

Tutoriel

1

Exemples (discret explicite, binomial et continu).
    Espérance du produit de deux variables aléatoires :
      * Cas général.
      * Variables indépendantes.
    Condition nécessaire et suffisante pour l'indépendance de deux v.a..

 

 

 

Espérance itérée

 

Tutoriels

1

Deux démonstrations du Théorème de l'Espérance Itérée.
   Premier exemple

2

Exemples avancés de calcul d'espérance par la méthode de     l'Espérance Itérée :
       * Moyenne de la distribution géométrique.
       * Covariance de deux modalités d'une distribution           multinomiale.

3

Espérances de la somme et du produit d'un nombre aléatoire    de variables aléatoires.

Tutoriels

4

Calculer des probabilités par la méthode de l'Espérance Itérée.

5

Calcul de la fonction génératrice des moments d'une somme     aléatoire de variables iid par Espérance Itérée.

6

Le "Problème du Mineur" comme cas particulier d'un     problème plus général.
    Retour sur f.g.m. de la distribution géométrique.

 

 

 

Variance

 

Tutoriel

1

Autre expression de la variance.
   Variance de la transformée linéaire d'une v.a.
   Estimation d'une variance par la variance empirique.
   Théorème de la variance conditionnelle.
   Un exemple d'application : la "distribution uniforme récursive".

 

 

 

Covariance

 

Tutoriels

1

Propriétés de la covariance : deux expressions en fonction de    l'espérance, linéarité, relation avec l'indépendance.

2

Exemple : covariance de deux modalités d'une distribution     multinomiale.

Animation

Covariance et coefficient de corrélation d'un échantillon
    bidimensionnel ajustable.

 

 

 

Matrice de covariance

 

Tutoriel

1

Matrice de covariance et matrice semidéfinie positive.
   Matrice de covariance singulière et distribution dégénérée.
   Diagonalisation d'une matrice de covariance.
   Transformation de Mahalanobis, Distance de Mahalanobis.     

 

 

 

Vecteur aléatoire

 

Tutoriel

1

Deuxième forme de la matrice de covariance.
   Espérance du double transformé d'un vecteur aléatoire.
   Matrice de covariance du transformé linéaire d'un vecteur aléatoire.

 

 

 

Marginales

 

Tutoriel

1

Distributions :
       * Du produit,
       * et du rapport
   de deux v.a. uniformes indépendantes.

Animation

Distributions :
       * Du produit,
       * et du rapport
   de deux v.a. uniformes indépendantes.

 

 

 

Indépendance (Variables aléatoires)

 

Tutoriel

1

L'indépendance de variables aléatoires peut être également exprimée en termes de :
       * Distribution conjointe factorisée.
       * Fonction de répartition conjointe factorisée.
       * Fonction génératrice des moments factorisée.
   Indépendance et espérance.
   "Indépendance" est plus forte qu' "Indépendance deux-à-deux".

 

 

 

Echantillonnage sans remise

 

Tutoriel

1

Moyenne de la population:
       * La moyenne empirique est un estimateur sans biais.
       * Variance de la moyenne empirique.
   Estimation sans biais de la variance de la population..
   Estimation sans biais d'une proportion. Variance de l'estimateur.

 

 

 

Convolution

 

Tutoriel

1

Produit de convolution et somme de v.a. indépendantes.
       * Variables discrètes (entières non négatives).
       * Variables continues.
   Exemples : binomiale, géométrique, négative binomiale, Poisson.

Tutoriel

2

Convolution de deux distributions normales.
   Convolution de deux distributions de Cauchy.
   Convolution de deux distributions Gamma.

 

 

 

 

Fonction génératrice

 

Tutoriels

1

Exemples : Bernoulli, binomiale, géometrique, Poisson.
   Dérivation d'une fonction génératrice :
       * Génération des probabilités, unicité..
       * Moments factoriels, moments. Exemples : binomiale,
           géométrique, Poisson.

2

Fonction génératrice d'une somme de v.a..
   Exemples : Bernoulli, binomiale, Poisson, géométrique
   (distribution binomiale négative).

Tutoriels

3

Fonction génératrice d'une somme aléatoire.
    Espérance d'une somme aléatoire.
    "Thinning" d'un processus de Poisson.

4

Direct : la convergence des fonctions de masse implique la    convergence des fonctions génératrices.
   Réciproque : la convergence des fonctions génératrices
   implique la  convergence des fonctions de masse.

 

 

 

Fonction génératrice des moments

 

Tutoriel

1

Propriétés de la fonction génératrice des moments.

 

 

 

Théorème Central Limite

 

Tutoriel

1

Démonstration dans le cas où la distribution admet une fonction génératrice des moments.

 

 

 

Transformations et changement de variables aléatoires

 

Tutoriels

1

Exemple simples de fonctions de variables aléatoires :
       * Linéaire, carré, racine carrée, inverse.

2

Transformations univariées :
       * Théorie générale, transformations monotones, non           monotones.
       * Transformation par fonction de répartition.

3

Transformations multivariées. Déterminant jacobien.
   Intégration multiple par changement de variables.

Tutoriels

4

Distribution de la somme de variables aléatoires :
       * Théorie.
       * Exemples : exponentielle, uniforme, Cauchy.

5

Rapport de deux variables aléatoires indépendantes :
       * Théorie.
       * Exemples : F de Fisher, t de Student, Cauchy.

 

 

 

Jacobien  (Déterminant)

 

Tutoriel

1

Etablissement de la formule du jacobien dans le cas bidimensionnel.

 

 

 

Jensen  (Inégalité de)

 

Tutoriel

1

Démonstration de l'inégalité de Jensen (cas fini et continu).

 

 

 

Cauchy-Schwarz  (Inégalité de)

 

Tutoriel

1

Version relative aux variables aléatoires.
   Version relative aux fonctions intégrables.

  

 

 

Kullback-Leibler   (Distance de)

 

Tutoriels

1

Justification de la définition.
   Positivité. Asymétrie.
   Kullback-Leibler et Maximum de Vraisemblance.

2

Cas particulier : les deux distributions sont normales.

Animation

Deux modes opératoires :
       * Deux distributions normales.
       * Deux échantillons.

 

 

 

Théorème de Slutsky

 

Tutoriel

1

Si :
      * {Xn} converge en distribution vers X,
      * {Yn} converge en probabilité vers une constante c,
   alors
      * {Xn + Yn} converge en distribution vers X + c,
      * {Xn.Yn} converge en distribution vers cX.

Tutoriel

2

Importance des conditions :
          * Sur la continuité de la fonction de transformation,
          * Sur la convergence vers une constante.
    La variance empirique est un estimateur convergent.
    La moyenne empirique est asymptotiquement normale.
    La distribution t est asymptotiquement normale.

 

 

 

Quantiles

 

Tutoriels

1

Diagrammes Quantiles-Quantiles ("Q-Q plots").
   Ajustement d'une distribution de référence à un échantillon    Comparaison de deux échantillons.

2

Transformation Quantile Inter-quartile.
   La fonction mi-distribution
   La fonction quantile continue
   La transformation Quantile Inter-quartile

Etude de cas

 3

Contrôle de processus industriel

Le problème
   Les données
   La solution
       * Identification des distributions par transformation QIQ.
       * Estimation des paramètres des distributions.
       * Simulation et optimisation des réglages.

 

 

 

Loi Faible des Grands Nombres

 

Tutorial

1

Inégalité de Markov.
   Inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
   Loi Faible des Grands Nombres.
   Un contre-exemple.
   Loi Faible des Grands Nombres généralisée.
   Théorème Fondamental de la Statistique.
   Estimation des moments d'une distribution.

 

 

 

Loi Forte des Grands Nombres

 

Tutoriels

1

Interprétation géométrique d'un développement dyadique.
   Intervalles dyadiques. Fonctions dyadiques.
   Interprétation probabiliste des intervalles dyadiques.

2

Loi Faible des Grands Nombres et fonctions dyadiques.
   Fonctions de Rademacher.
   Une propriété des fonctions en escalier.
   Nouvelle démonstration de la Loi Faible.

Tutoriel

3

Nombres normaux et nombres non normaux.
   Renforcement de la borne de Bienaymé-Tchebychev.
   Théorème de Borel des nombres normaux.
   Loi Forte des Grands Nombres pour le jeu de Pile ou Face.

 

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