Statistique exhaustive

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1

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ESTIMATION ET TESTS

 

 

 

 

 

 

 

Intervalles de confiance

 

Tutoriel

1

Intervalle de confiance sur une moyenne :
       * Variance connue.
       * Variance inconnue.
   Différence entre une moyenne et une valeur de référence.
   Comparaison de deux moyennes :
       * Echantillons appariés.
       * Echantillons indépendants (variances connues, inconnues          mais égales, inconnues et inégales).

Tutoriel

2

Intervalle de confiance asymptotique.
   Approximation de Welch.

 

 

 

Animation

 

Distribution normale. Effectifs et niveau de confiance ajustables.
    Proportion du nombre de tirages pour lesquels l'intervalle de     confiance recouvre la moyenne.

 

 

 

 

Erreur Quadratique Moyenne

 

Tutoriel

1

EQM de l'estimateur d'un paramètre d'une distribution.
   Estimation optimale d'une variable aléatoire.
   Estimation optimale quand une deuxième v.a. et disponible.

Animation

Erreur Quadratique Moyenne d'un modèle :
       * En fonction de la position du point de mesure.
       * En fonction de la complexité du modèle (compromis           biais-variance).

 

 

 

Biais

 

Tutorial

1

Limitations des estimateurs sans biais :
       * Existence.
       * Comportements irréguliers.
       * Estimateurs biaisés meilleurs que des ESBVM.

Animation

Estimation de θ de la disrtibution uniforme U[0, θ] :
       * Double de la moyenne empirique.
       * ESBVM.
       * Un estimateur biaisé de plus faible EQM.

 

 

 

Compromis biais-variance

 

Tutoriel

1

EQM de la variance empirique "corrigée".
   EQM de la variance empirique biaisée.
   Comparaison des deux estimateurs.
   Un estimateur encore meilleur malgré son fort biais.

Animation

Compromis biais-variance local :
       * Influence de la position de l'estimateur.
       * Influence de la complexité du modèle.
   Compromis biais-variance global :
        * Influence de la complexité du modèle, du bruit.

 

 

 

Estimateur Sans Biais de Variance Minimale (ESBVM)

 

Tutoriels

1

Unicité d'un Estimateur Sans Biais de Variance Minimale.
   Un estimateur sans biais est un ESBVM si et seulement si il est    décorrélé avec tout estimateur sans biais de 0.
   Un ESBVM est fonction de toute statistique exhaustive.

2

                         DISTRIBUTION NORMALE
   ESBVM de la Moyenne, de la Variance.
   ESBVM des puissances entières de la moyenne, des puissances    de l'écart-type, de µ/σ.
   ESBVM de la fonction de répartition.

 

3

Distribution de Poisson : carré du paramètre, toute fonction    analytique du paramètre.
   Distribution uniforme U[0, θ] : paramètre θ, toute fonction    différentiable du paramètre θ.
   Distribution uniforme U[θ, θ + 1] : aucune fonction du    paramètre θ n'admet d'ESBVM.

Tutoriels

4

Distributions puissance (entières) :
      * Statistique complète.
      * ESBVM des puissances entières du paramètre.

5

ESBVM de la variance de la distribution de Bernoulli.
   ESBVM du paramètre p de la distribution géométrique.
   ESBVM de la moyenne et de la variance de la distribution
   binomiale négative (avec la distribution géométrique comme
   cas particulier).
   ESBVM des puissances entières de la distribution binomiale
   négative.

 

  

 

Cramér-Rao (Inégalité de)

  

Tutoriels

1

Espérance et variance du score.
   Forme "de base" de l'inégalité de Cramér-Rao.
   Les deux formes opérationnelles de
   l'inégalité de Cramér-Rao.
   Conditions de régularité.

2

Condition nécesaire et suffisante pour que
    la borne soit atteinte.
   Estimateur efficace et Maximum de Vraisemblance.
   Estimateur efficace et Statistique exhaustive.

Tutoriel

3

Exemples d'application de l'inégalité de Cramér-Rao :
      * Moyenne et variance de la distribution normale.
      * Moyenne de la distribution exponentielle.
      * Paramètre de la disribution de Bernoulli.
      * Paramètre de la distribution de Poisson.

   Un échec de l'inégalité de Cramér-Rao : distribution uniforme.
      * Conditions de régularité non respectées.
      * Estimateur sans biais dont la variance est inférieure
         à la "borne" de Cramér-Rao.

 

 

  

 

Statistique exhaustive

 

Tutoriels

1

Justification de la notion d'exhaustivité.
   Une condition nécessaire et suffisante d'exhaustivité.
   Application aux distributions de Bernoulli et normale.

2

Premiers exemples de démonstration directe :
       * Distribution de Bernoulli b(p).
       * Distribution binomiale B(n, p).
       * Distribution de Poisson P(λ),
       * Distribution uniforme U[0, θ],
       * Distribution normale N(µ, σ²)
       * Distributions exponentielle translatée exp(θ - x),
   ne faisant appel qu'à la définition d'une statistique exhaustive.

 

Tutoriels

3

Démonstration du Théorème de Factorisation.
   Exhaustivité et fonctions.
   Amélioration d'une statistique exhaustive.

 

4

Exemples d'applications du Théorème de Factorisation :
       * Bernoulli, uniforme (2), Poisson, moyenne de la normale           (deux méthodes), variance de la normale, moyenne et           variance de la normale (statistique exhaustive           bidimensionnelle), exponentielle, Gamma (paramètres de           forme et de dispersion), Beta.

5

Estimateur par MV et statistique exhaustive.
   Si l'unique EMV est exhaustif, il est exhaustif minimal.

 

 

 

Statistique exhaustive minimale

 

Tutoriel

1

Condition pour qu'une statistique soit exhaustive minimale.
   Exemples de statistiques exhaustives minimales.

 

 

 

Statistique exhaustive complète

 

Tutoriel

1

Propriétés générales des statistiques exhaustives complètes.
   Exemples de statistiques exhaustives complètes.

 

 

 

Théorème de Lehmann-Scheffé

 

Tutoriel

1

Théorème de Lehmann-Scheffé.
   Corollaire.
   Exemples d'identification d'ESBVM par le corollaire du Théorème    de Lehmann-Scheffé.

 

 

 

 Statistiques libres
 Théorème de Basu

 

Tutoriel

1

Premiers exemples de statistiques libres.
   Statistiques libres :
      * D'une famille de position.
      * D'une famille d'échelle.
   Une condition suffisante générale pour qu'une statistique soit libre.
   Théorème de Basu et trois exemples d'application.

 

 

 

 

Famille exponentielle

 

Tutoriel

1

Le paramètre admet une statistique exhaustive
   si et seulement si la distribution appartient à la famille    exponentielle.
   Il existe une fonction du paramètre admettant un estimateur    efficace si et seulement si la distribution appartient à la famille    exponentielle.
   -----
   Famille exponentielle naturelle : calcul de la moyenne
   et de la variance. Fonction de variance.

Tutoriel

2

Exemples de familles exponentielles :
      * Binomiale, binomiale négative, Poisson, Gamma, Beta, normale.

   Pour chacune, lorsque celà est possible :
      * Formes générale, canonique, naturelle.
      * Statistique canonique, estimation efficace.

 

 

 

 

Estimation par Maximum de Vraisemblance

 

Tutoriels

1

Un estimateur par Maximum de Vraisemblance est convergent.

2

Un estimateur par Maximum de Vraisemblance est :
      * Asymptotiquement normal.
      * Asymptotiquement efficace.

Tutoriel

3

L'EMV du transformé d'un paramètre est le transformé    de l'EMV du paramètre.

 

 

 

Rao-Blackwell (Théorème de)

 

Tutoriel

1

Réduire la variance d'une variable aléatoire
        tout en préservant son espérance.
   Le Théorème de Rao-Blackwell.
      * Création d'une nouvelle statistique.
      * Préservation de l'espérance.
      * Réduction de la variance.

Tutoriels

2

Premier exemple de blackwellisation :
      * Estimer la probabilité P{X = 0} dans une distribution
         de Poisson de paramètre inconnu.    

3

Deuxième exemple de blackwellisation :
      * Estimer la probabilité P{X > t} dans une distribution
         exponentielle de paramètre inconnu.

 

 

_______________________________________________________________________

 

 

Théorème de Neyman-Pearson

 

Tutoriel

1

Démonstration du Théorème de Neyman-Pearson.
   Premières conséquences :
       * Puissance et niveau de signification.
       * Probabilités d'erreurs de Type I et de Type II.

Tutoriel

2

Moyenne de la distribution normale.
    Paramètre de localisation de la distribution de Cauchy.
    Exemple ne portant pas sur des paramètres.
    Neyman-Pearson et statistique exhaustive :
       * Nouvelle expression du rapport des vraisemblances.
       * Retour sur la moyenne de la distribution normale.

 

 

 

Test du Rapport de Vraisemblance

 

Tutoriels

1

Exemples de Tests du Rapport de Vraisemblance :
      * Moyenne de la distribution normale, variance connue.
      * Moyenne de la distribution normale, variance inconnue.
      * Variance de la distribution normale, moyenne inconnue.

2

Un TRV sur la distrbution normale sans équivalent classique.
   Transformation de la statistique de test.
   Comportement asymptotique.

3

Autres exemples de Tests du Rapport de Vraisemblance :
      * Paramètre de la distribution uniforme U[0, θ].
      * Distribution exponentielle translatée.
      * Test d'identité de la distribution exponentielle.

4

Distribution asymptotique de la statistique de test :
       * Exemple : distribution de Poisson.
       * Cas général : distribution asymptotique en Chi-2.
   Test du Rapport de Vraisemblance et statistique exhaustive.

Tutoriel

5

 TRV d'adéquation de la distribution multinomiale.
    Equivalence asymptotique avec le test du Chi-2.

Animation

Test d'identité de la distribution exponentielle.
   Distribution asymptotique de la statistique de test.

 

Animation

Comparaison des comportements et des performances de la     statistique du Chi-2 et du G² de Wilks.

 

_____________________________________________________________

 

 TESTS PARAMETRIQUES

 

ANOVA univariée

 

Tutoriels

1

Principe d'ANOVA :
       * Quand l'hypothèse nulle est vraie.
       * Quand l'hypothèse nulle est fausse.
       * La statistique du test. Le test.        

2

Décomposition de la variance.
   Les trois sommes de carrés :
       * Totale,
       * Factorielle,
       * Résiduelle.

3

Distributions des Sommes de Carrés :
       * Totale.
       * Résiduelle.
       * Factorielle (sans démonstration).

Tutoriels

4

La statistique du test.
   Carrés moyens.
    Le test F.
    Tableau ANOVA.

 

Animation

 

Trois ou quatre groupes. Effectifs ajustables.
    Deux modes de fonctionnement :
       * Probabilité pour la statistique d'être dans la région
          critique.
       * Construction progressive de l'histogramme de la                    statistique du test.

  

 

 

 

t tests (Student)

 
Ces Tutoriel sont identiques à ceux relatif aux intervalles de confiance.

Tutoriel

1

Intervalle de confiance sur une moyenne :
       * Variance connue.
       * Variance inconnue.
   Différence entre une moyenne et une valeur de référence.
   Comparaison de deux moyennes :
       * Echantillons appariés.
       * Echantillons indépendants (variances connues, inconnues          mais égales, inconnues et inégales).

Tutoriel

2

Intervalle de confiance asymptotique.
   Approximation de Welch.

 

Animation

Distribution de la statistique du test t à deux échantillons    indépendants.

  

 

 

 

Bartlett (Test d'homogéneité des variances)

 

 

Tutorial

1

Le test de Bartlett est un Test du Rapport de Vraisemblance.
   Améliorations de la statistique du TRV.

 

 

 

 

Test de Dunnett

 

Tutoriel et Etude de Cas

1

L'objectif du test de Dunnett.
   Conditions d'utilisation.
   Le test deDunnett.
      * Principe du test.
      * La statistique de Dunnett.
      * Table de Dunnett's des valeurs critiques.
      * Cas particulier : groupes d'effectifs égaux.
   Etude de cas.

 

  

 

Test de Fisher-Irwin

 

 

Tutorial

1

Tester l'identité de deux populations de Bernoulli.
   La statistique de Fisher-Irwin est hypergéométrique.

 

 

  

Test de Newman-Keuls

 

 

Tutorial

1

Conditions d'utilisation.
   La statistique de Newman-Keuls.
   Distribution de la statistique de Newman-Keuls.
   Grands échantillons et approximation normale.
   Exemples.

__________________________________________________

 

TESTS NON PARAMETRIQUES

  

 

Tests d'adéquation

 

Tutoriel

1

La distribution de la statistique de Kolmogorov ne dépend pas
   de la distribution testée.
   La statistique de Cramér-von Mises sous forme de somme.
   La statistique d'Anderson-Darling sous forme de somme.

 

 

 

Tests du Chi-2

 

Tutoriels

1

Le test du Chi-2 d'indépendance.
   Relation fonctionnelle entre deux variables.
   Contributions à la statistique du Chi-2.

2

Autres tests du Chi-2 :
       * Symétrie d'une distribution conjointe.
       * Identité des distribution marginales d'une distribution
          conjointe.
       * Identité des distributions de plusieurs populations.

Tutoriel

3

Tableaux 2x2 :
       * Forme simplifiée de la statistique du Chi-2.
       * Tests exacts :
            - Fisher-Irwin.
            - Test exact de Fisher.
       * Test de McNemar.

  

 

 

Test de Kruskal-Wallis

 
Ces Tutoriels n'ont pas encore été traduits en français. Nous vous prions de nous excuser pour cette gêne.
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Tutorial

1

The Kruskal-Wallis statistic.
   Rationale of the test.
   The two forms of the Kruskal-Wallis statistic.
   The Chi-square approximation.
   Two examples (small and large samples).

Tutorial

2

Ties.
    The influence of ties on the Kruskal-Wallis statistic.
   ----
    Multiple comparisons beween treatments.
    Multiple comparisons with a reference groups.

 

  

 

Test de Mann-Whitney

 
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Tutoriel

1

Rationale of the test.
    The Wilcoxon and the Mann-Whitney statistics.
    Distribution of the Wilcoxon statistic.
    Large samples and normal approximation.
    Examples.

 

______________________________________________________________________

 

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